参考资料：
网易公开课：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html 麻省理工公开课：线性代数
教材：Introduction to Linear Algebra, 4th edition by Gilbert Strang
链接：https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg
提取码：s9bl
假设：$A$为$3\times 4$长方形矩阵（线性相关），求解$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$
一、增广矩阵消元 augmented matrix
（1）$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解条件 //两种等价描述方式
- 当且仅当$\mathbf{b}$位于矩阵$A$的列空间$C(A)$内
- 如果矩阵$A$的行线性组合在消元过程中得到全零行，$\mathbf{b}$的相同组合也必须为0，本例中$b_3-b_2-b_1$必须为零
二、求解$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$的所有解
（1）求解$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$的特解$\mathbf{x}_{particular}$：令所有的自由变量为零，求解所有主变量的值
（2）求解$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$对应的零空间解$\mathbf{x}_{nullsapce}$
（3）$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$的完整解为：$\mathbf{x}_{complete}=\mathbf{x}_{particular}+\mathbf{x}_{nullsapce}$，本例为经过$\mathbf{x}_{particular}$的某二维平面（不包含原点，不是子空间）
注：$A\mathbf{x}_p=\mathbf{b}，A\mathbf{x}_n=\mathbf{0} \Rightarrow A(\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_n)=\mathbf{b}$
三、假设矩阵$A$为$m\times n$矩阵，秩为$r$
（1）秩的定义：主元的个数 //$r\leq m, r\leq n$
（2）列满秩：$r=n<m$ //各列线性无关
- 主元个数为$n$，无自由变量，零空间$N(A)$仅包含零向量
- 若$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解，则仅有唯一解$\mathbf{x}_{particular}$ //$\mathbf{x}_{particular}$要么无解，要么有唯一解
注：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有0或1个解
（3）行满秩：$r=m<n$ //各行线性无关
- 主元个数为$m$，自由变量个数为$n-m$
- 对于任意$\mathbf{b}$，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$都有解 //因为每行均存在主元，则消元过程中对$\mathbf{b}$无任何限制，一定有解
注：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有无穷个解
（4）满秩方阵：$r=m=n$
- 矩阵可逆，零空间只有零向量
- 行最简矩阵$R=I$
- $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$一定有唯一解$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$
注：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有唯一解
（5）非满秩矩阵：$r<m, r<n$
注：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有0或无穷个解
注：矩阵的秩决定了方程组解的个数
原文地址：https://www.cnblogs.com/hg-love-dfc/p/10309526.html