本文参考《算法导论》

红黑树的性质

红黑树是一棵二叉搜索树，它在每个节点上增加了一个存储位来表示结点的颜色，可以是RED或者是BLACK，红黑树确保没有一条路径会比其它路径长2倍，因而是近似平衡的。

树中的每个结点包含5个属性：color、key、left、right、parent，如果一个结点没有子结点或者是父结点，则该结点相应指针属性的值为NIL。可以把NIL视为指向二叉搜索树

的也结点的指针，而把带有关键字的结点视为树的内部结点。

一棵红黑树是满足下面红黑性质的二叉树：

1. 每个结点或是红色的，或是黑色的。
2. 根节点是黑色的。
3. 每个叶结点(NIL)是黑色的。
4. 如果一个结点是红色的，则它的两个子结点都是黑色的。
5. 对每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。

规定：从某个结点x出发(不含该结点)到达一个叶结点的任意一条简单路径上的黑色结点个数称为该结点的黑高(black-height)，记为bh(x)。

引理:一棵有n个内部结点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)

一棵使用了公共结点的红黑树如下：

旋转

1、左旋转

LEFT-ROTATE(T,x)

y = x.right	//set y
x.right = y.left	//set x.right
if y.left != T.nil
	y.left.p = x
y.p = x.p	//link x‘s parent to y
if x.p == T.nil
	T.root = y
elif x.p == x.p.left
	x.p.left = y
else
	x.p.right = y
y.left = x	//put x on y‘s left
x.p = y

2、右旋转

RIGHT-ROTATE(T,y)

x = y.left	//set x
y.left = x.right
if x.right != T.nil
	x.right.p = y
y.p = x.p	//link y‘s parent to x
if y.p == T.nil
	T.root = x
elif y.p == y.p.left
	y.p.left = x
else
	y.p.right = x
x.right = y	//put y on x‘s right
y.p = x

红黑树的插入

我们可以在O(lgn)时间内完成想一棵含n个结点的红黑树中插入一个新的结点。为了做到这一点，利用TREE-INSERT过程，将结点z插入树T中，

就好像T是一棵普通的二叉搜索树一样，然后将z着为红色，为了能保持红黑性质，我们设计了一个辅助程序RB-INSERT-FIXUP来对结点重新着色并

旋转。

RB-INSERT(T,z)

y = T.nil
x = T.root

if x != T.nil
	y = x
	if z.key < x.key
       		x = x.left
	else
		x = x.right
z.p = y

if y == T.nil
	T.root = z
elif z.key < y.key
	y.left = z
else
	y.right = z
z.left = T.nil
z.right = T.nil
z.color = RED
RB-INSERT-FIXUP(T,z)

红黑树的修订

RB-INSERT-FIXUP(T,z)

 while z.p.color == RED
	if z.p == z.p.p.left
		y = z.p.p.right
		if y.color == RED
			z.p.color = BLACK     //case 1
			z.p.p = RED               //case 1
			y.color = BLACK        //case 1
			z = z.p.p                    //case 1
		else if z == z.p.right
			z = z.p                       //case 2
			LEFT-ROTATE(T, z)   //case 2
		else
			z.p.color = BLACK   //case 3
			z.p.p.color = RED   //case 3
			RIGHT-ROTATE(T, z.p.p)   //case 3
	else
		y = z.p.p.left
		if y.color == RED
			z.p.color = BLACK
			y.color = BLACK
			z.p.p.color = RED
			z = z.p.p
		else if z == z.p.left
			z = z.p
			RIGHT-ROTATE(T,z)
		else
			z.p.color = BLACK
			z.p.p.color = RED
			LEFT-ROTATE(T,z.p.p)
T.root.color = BLACK

在调用RB-INSERT-FIXUP操作时，哪些红黑性质可能会被破坏呢？性质1和性质3继续成立，因为新插入的红姐点的两个子结点都是哨兵T.nil。性质5，即从一个制定结点开始的每条

简单路径上的黑节点的个数都是相等的，也会成立，因为结点z代替了(黑色)哨兵，并且结点z本省是哨兵孩子的红姐点。这样开来，仅可能被破坏的就是性质2和性质4，即根结点需要为黑

色以及一个红结点不能有哄孩子。这两个性质可能被破坏是因为z被着为红色。如果z是根节点，则破坏了性质2；如果z是父结点是红结点，则破坏了性质4。

在1~15行中的while循环在每次迭代的开头保持下列3个部分的不变式：

1. 结点z是红结点。
2. 如果z.p是根结点，则z.p是黑结点。
3. 如果有任何红黑性质被破坏，则至多只有一条被破坏，或是性质2，或是性质4.如果性质2被破坏，则原因是z是根结点且是红结点。如果性质4被破坏，其原因是z和z.p都是红结点。

证明循环不变式

红黑树的5个性质：

1. 每个结点或是红色的，或是黑色的。
2. 根节点是黑色的。
3. 每个叶结点(NIL)是黑色的。
4. 如果一个结点是红色的，则它的两个子结点都是黑色的。
5. 对每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。

初始化：在循环的第一次迭代之前，从一棵正常的红黑树开始，并新增一个红结点z。

要证明当RB-INSERT-FIXUP被调用时，不变式的每个部分都成立，以下是循环不变式。

• 当调用RB-INSERT-FIXUP时，z是新增的红结点。
• 如果z.p是根，那么z.p开始是黑色的，且在调用RB-INSERT-FIXUP之前保持不变。
• 注意在调用RB-INSERT-FIXUP时，性质1、性质3和性质5成立。

如果违反了性质2，则红色根结点一定是新增结点z，它是树中唯一的内部结点。因为z的父结点和两个子结点都是黑色的哨兵，没有违反性质4.这样，对性质2的违反是整棵树中唯一违

反红黑性质的地方。

如果违反了性质4，则由于z的子结点是黑色哨兵，且该树在z加入之前没有其它性质的违反，所以违反必然是因为z和z.p都是红色。而且，没有其它性质被违反。

    终止：循环终止是因为z.p是黑色的。这样，树在循环终止时没有违反性质4.根据循环不变式，唯一可能不成立的是性质2。第16行恢复这个性质，所以当RB-INSERT-FIXUP终止时，所

有的红黑性质都成立。

    保持：实际需要考虑while循环中的6种情况，而其中三种和另外三种是对称的。取决于z的父结点z.p是z的祖父结点z.p.p的左孩子还是右孩子。根据循环不变式的第二条，如果z.p是根

结点，那么z.p是黑色的，可知结点z.p.p存在。因为只有z.p是红色时才进入一次循环迭代，所以z.p不可能是根结点。因此，z.p.p存在。

情况1和情况2、情况3的区别在于z父亲的兄弟结点的颜色不同。第3行使y指向z的叔结点z.p.p.right，在第4行测试y的颜色。如果y是红色的，那么执行情况1.否则，控制转向情况2和3.

在所有三种情况中，z的祖父结点z.p.p是黑色的，因为它的父结点z.p是红色的，故性质4只在z和z.p之间被破坏。

1. 情况1： z的叔结点y是红色

a.因为每次迭代把z.p.p着为红色，结点z.p.p.p在下次迭代的开始是红色。

b.在这次迭代中结点z.p.p.p,且这个结点的颜色不会改变。如果它是根结点，则在此次迭代之前它是黑色，且在下次迭代的开头任是黑色。

2.情况2：z的叔结点y是黑色的且z是一个右孩子

3.情况3：z的叔结点y是黑色的且z是一个左孩子

红黑树的详细介绍一