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对于求次优解、第K优解类的问题，如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决，那么求次优解往往可以相同的复杂度解决，第K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数K。其基本思想是将每个状态都表示成有序队列，将状态转移方程中的max/min转化成有序队列的合并。这里仍然以01背包为例讲解一下。首先看01背包求最优解的状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。如果要求第K优解，那么状态f[i][v]就应该是一个大小为K的数组f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i个物品、背包大小为 v时，第k优解的值。“f[i][v]是一个大小为K的数组”这一句，熟悉C语言的同学可能比较好理解，或者也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维。显然f[i][v][1..K]这K个数是由大到小排列的，所以我们把它认为是一个有序队列。然后原方程就可以解释为：f[i][v]这个有序队列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]这两个有序队列合并得到的。有序队列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K]，f[i-1][v-c[i]]+w[i]则理解为在f[i-1][v-c[i]] [1..K]的每个数上加上w[i]后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果的前K项储存到f[i][v][1..K]中的复杂度是O(K)。最后的答案是f[N][V][K]。总的复杂度是O(VNK)。
为什么这个方法正确呢？实际上，一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略，也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解，所以其它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为K的数组，并在这个数组中有序的保存该状态可取到的前K个最优值。那么，对于任两个状态的max运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。另外还要注意题目对于“第K优解”的定义，将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者，则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 #include <algorithm>
4 #include <cstring>
5 #define sc(x) scanf("%d", &x)
6 #define CL(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
7 using namespace std;
8 int main()
9 {
10 int t;
11 int v[101], w[101];
12 int a[101], b[101];
13 int n, vol, i, j, k, K;
14 int x, y, z;
15 int p[1011][30];
16 scanf("%d", &t);
17 while(t--)
18 {
19 scanf("%d%d%d", &n, &vol, &K);
20 for(i = 1 ; i <= n ; i++)
21 sc(v[i]);
22 for(i = 1 ; i <= n ; i++)
23 sc(w[i]);
24 CL(p, 0);
25 CL(a , -1);
26 CL(b , -1);
27 a[0] = 0;
28 b[0] = 0;
29 for(i = 1 ; i <= n ; i++)
30 {
31 for(j = vol ; j >= w[i] ; j--)
32 {
33 for (k = 1; k <= K; k++)
34 {
35 a[k] = p[j - w[i]][k] + v[i];
36 b[k] = p[j][k];
37 }
38 x = 1;
39 y = 1;
40 z = 1;
41 while(z <= K && ( x <= K || y <= K ) )//合并重新生成前k个最优解
42 {
43 // cout << a[x] << " " << b[x] << endl;
44 if(a[x] > b[y])
45 p[j][z] = a[x] , x++;
46 else
47 p[j][z] = b[y] , y++;
48 if(p[j][z] != p[j][z-1])
49 z++;
50 }
51 }
52 }
53
54 printf("%d\n", p[vol][K]);
55 }
56 return 0;
57 }