哈尔滨理工大学2016新生赛F题

给出两个正整数m,n，在笛卡尔坐标系中选出四个不同的点，满足：

（1）   点的横坐标是一个在区间[0,m]的整数。

（2）   点的纵坐标是一个在区间[0,n]的整数。

（3）   这四个点做顶点构成一个菱形。

有多少种满足以上条件的选择方法呢？

Input

多组测试数据，每组输入两个正整数m,n(m <= 1000, n <= 1000)。

处理到文件结束。

Output

每行输出一个整数，表示有多少满足条件的选择方法。

Sample Input

2 2

Sample Output

6

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
const int maxn=1001;    //矩形最大边长

int f[maxn][maxn];        //以[0,m]×[0,n]为包含菱形的最小矩形的菱形的个数
long long g[maxn][maxn];//在[0,m]×[0,n]以m,n为边界的菱形的个数
long long h[maxn][maxn];//在[0,m]×[0,n]中菱形的个数
//扩展欧基里德算法，返回结果为最大公约数d，且ax+by=d
int egcd(int a,int b,long long &x,long long &y)
{
    long long k;            //临时变量
    int d;                    //最大公约数
    if (b==0)                //终止条件
    {
        x=1;                //满足终止条件时x的值
        y=0;                 //满足终止条件时y的值
        return a;            //最大公约数为a
    }
    else
    {
        d=egcd(b,a%b,x,y);    //递归求解
        k=a/b;
        k=x-k*y;                //临时变量用于交换两个数
        x=y;                    //扩展欧基里德算法中，从上一层得到x=y
        y=k;                    //扩展欧基里德算法中，从上一层得到y=x-(a/b)*y
        return d;                //最大公约数为递归求解结果
    }
}
//计算区间的上下界
void cal_bound(long long x,long long step,long long &l,long long &r,int lb,int rb)
{
    int temp;
    if (step<0)                //当步长为负数时，进行镜像调整使得步长为正
    {
        x=-x;                    //x取相反数
        step=-step;            //步长取相反数
        temp=lb;
        lb=-rb;
        rb=-temp;                //把左右边界取相反数并且交换
    }
    //求最小的l使x+l*step>=lb
    if (lb-x>=0)                //左边界在已知解的右边
        l=(lb-x+step-1)/step;
    else                        //左边界在已知解的左边
        l=(lb-x)/step;
    //求最大的r使x+r*step<=rb
    if (rb-x>=0)                 //右边界在已知解的右边
        r=(rb-x)/step;
    else                        //右边界在已知解的左边
        r=(rb-x-step+1)/step;
    return;
}
//求ax+by=c在lx<=x<=rx且ly<=y<=ry时整数解的个数
int cal(int a,int b,int c,int lx,int rx,int ly,int ry)
{
    long long x,y,dx,dy,l1,r1,l2,r2;
    int d;
    d=egcd(abs(a),abs(b),x,y);    //使用扩展欧基里德算法
    if (c%d!=0)                    //不存在解的情况
        return 0;
    if (a<0)                        //如果a为负数，则相应调整x
        x=-x;
    if (b<0)                         //如果b为负数，则相应调整y
        y=-y;
    x*=c/d;                        //求出其中一个解的x值
    y*=c/d;                        //求出其中一个解的y值
    dx=b/d;                        //x的变化步长
    dy=-a/d;                        //y的变化步长
    cal_bound(x,dx,l1,r1,lx,rx);//通过x求t的左右边界
    cal_bound(y,dy,l2,r2,ly,ry);//通过y求t的左右边界
    if (l1<l2)                    //取左边界的最大值
        l1=l2;
    if (r1>r2)                    //取右边界的最小值
        r1=r2;
    return r1-l1+1;                //返回解的个数
}
int init()                        //预处理函数
{
    int i,j,temp;
    for(i=1;i<maxn;i++){        //枚举矩形的其中一边长
        for(j=1;j<maxn;j++){    //枚举矩形的另一边长
            temp=cal(2*i,-2*j,i*i-j*j,0,i,0,j);//计算情况(1)的结果
            if (i==j)                //当矩形为正方形时，正方形重复计算了一次
                temp--;
            if (temp>0)
                f[i][j]+=temp;    //将合法解累加到f数组中
            temp=cal(2*i,2*j,i*i+j*j,1,i-1,1,j-1);//计算情况(2)的结果
            if (i%2==0&&j%2==0)    //减去菱形面积为0的情况
                temp--;
            if (temp>0)
                f[i][j]+=temp;    //将合法解累加到f数组中
            //从f数组到g数组的转移方程
            g[i][j]=g[i-1][j]+g[i][j-1]-g[i-1][j-1]+f[i][j];
            //从g数组到h数组的转移方程
            h[i][j]=h[i-1][j]+h[i][j-1]-h[i-1][j-1]+g[i][j];
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    int m,n;
    init();                                //预处理
    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF){    //输入整数m,n直到文件结束
        printf("%I64d\n",h[m][n]);        //输出答案
    }
    return 0;
}