描述

有\(n\)个工厂,给出第\(i\)个工厂的到1号工厂的距离\(x[i]\),货物数量\(p[i]\),建设仓库所需花费\(c[i]\).

现在要把所有货物都装入仓库,第\(i\)号工厂的货物可以选择在\(i\)建仓库并存入,或者移动到\(k\)号仓库\((i<k<=n)\).移动的花费为数量与距离的乘积.

分析

用\(dp[i]\)表示前\(i\)个工厂,且在\(i\)修建仓库的最少花费.那么有转移方程:$$dp[i]=min\{dp[j]+cost(j+1,i)\}+c[i]$$

其中\(cost(j+1,i)\)表示把\(j+1\)号到\(i\)号的货物全部运送到\(i\)号所需的总花费.

这个\(cost\)怎么求呢?

我们用前缀和\(s1[i]\)表示\(p[1]+p[2]+...+p[i]\).

这样\((s1[i]-s1[j])\times{x[i]})\)就表示把从\(j+1\)号到\(i\)号的所有货物从1号运送到\(i\)号的总花费.

我们发现对于每一个\(k(j+1<=k<=i)\)号工厂,多花费了把\(p[k]\)个货物从1号运送到\(j\)号的花费.我们现在要减去这些多余的花费.

用前缀和\(s2[i]\)表示\(p[1]x[1]+p[2][x2]+...+p[i]x[i]\).

这样\(s2[i]-s2[j]\)就是多余的那些花费了.

但是这样的算法复杂度是\(O(n^2)\)的,注定要爆炸,所以我们考虑用斜率优化的办法把复杂度降到\(O(n)\).

首先变形,原式$$dp[i]=min{dp[j]+(s1[i]-s1[j])\times{x[i]}-(s2[i]-s2[j])}+c[i]$$

变形为$$dp[i]=min{dp[j]+s2[j]-x[i]\times{s1[j]}}+s1[i]\times{x[i]}-s2[i]+c[i]$$

设\(j<k<i\),\(k\)比\(j\)决策更优.则有$$dp[k]+s2[k]-x[i]\times{s1[k]}<dp[j]+s2[j]-x[i]\times{s1[j]}$$

即$$\frac{(dp[k]+s2[k])-(dp[j]+s2[j])}{s1[k]-s1[j]}<x[i]$$

单调队列搞一搞...

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3
 4 typedef long long ll;
 5 const int maxn=1e6+5;
 6 ll n;
 7 ll x[maxn],p[maxn],c[maxn],s1[maxn],s2[maxn],q[maxn],dp[maxn];
 8 inline void read (ll &x){ x=0;ll k=1;char c;for(c=getchar();c<‘0‘||c>‘9‘;c=getchar())if(c==‘-‘)k=-1;for(;c>=‘0‘&&c<=‘9‘;c=getchar())x=x*10+c-‘0‘;x*=k; }
 9 inline ll up(int k,int j){ return dp[k]-dp[j]+s2[k]-s2[j]; }
10 inline ll dn(int k,int j){ return s1[k]-s1[j]; }
11 void init(){
12     read(n);
13     for(int i=1;i<=n;i++){
14         read(x[i]), read(p[i]), read(c[i]);
15         s1[i]=s1[i-1]+p[i];
16         s2[i]=s2[i-1]+p[i]*x[i];
17     }
18 }
19 void solve(){
20     ll front=0,tail=1;
21     for(int i=1;i<=n;i++){
22         while(front+1<tail&&up(q[front+1],q[front])<dn(q[front+1],q[front])*x[i]) front++;
23         int j=q[front]; dp[i]=dp[j]+(s1[i]-s1[j])*x[i]-(s2[i]-s2[j])+c[i];
24         while(front+1<tail&&up(i,q[tail-1])*dn(q[tail-1],q[tail-2])<=up(q[tail-1],q[tail-2])*dn(i,q[tail-1])) tail--;
25         q[tail++]=i;
26     }
27     printf("%lld\n",dp[n]);
28 }
29 int main(){
30     init();
31     solve();
32     return 0;
33 }