1 排列组合回顾：
排列数：Amn=n!(n?m)!排列的总的个数每次排列个数的全排列=AmnAmm=组合数
LCS求长度为五的字符串的子序列有多少个？
N=C15+C25+C35+C45+C55=A15A11+A25A22+A35A33+A45A44+A55A55
根据初中的二次项展开定理：
(a+b)n=∑r=0nCrnan?rbr(1+x)n=C0nx0+C1nx1+C2nx2+...+Cmnxm+...+Cnnxnx=1时：N=2n?1=C1n+C2n+...+Cmn+...+Cnn
2 幂级数
(1+x)n的各阶导数=?????????????????ffff(x)(0)=1(x)(1)=n?(1+x)n?1(x)(2)=n?(n?1)?(1+x)n?2...(x)(m)=n?(n?1)?(n?2)...(n?m+1)(1+x)m?1
2.1 级数展开:
(1+x)n(1+x)n对于n=12、?12的情况:(1+x)12(1+x)?12====1+n?x+n?(n?1)2!x2+...+n?(n?1)...(n?m+1)m!xm+...;当x∈(?1,1)时候，此级数收敛于(1+x)n①，在区间的端点处，展开式是否也收敛到(1+x)n这个函数要看n的数值而定。C0nx0+C1nx1+C2nx2+...+Cmnxm+...+Cnnxn当n为正整数时候,它的幂级数展开式就是x的n次多项式，这就是代数学中的二项定理(证明请直接写出级数展开式和二项展开式做对比，或者按《高数下》函数展开成幂级数P220证明)，所以此时x不仅在端点?1,1处成立，在整个实数域内都成立，因为它就直接等于(1+x)n。1+12x?12?4x2+1?32?4?6x3?1?3?52?4?6?8x4+....;(?1≤x≤1)1?12x+12?4x2?1?32?4?6x3+1?3?52?4?6?8x4+....;(?1<x≤1)
上面说某级数收敛到函数f(x)，需要看清楚条件。
当(1+x)^n,n为正整数的时候，这个函数的幂级数展开就是它的二项展开所以可以有如下应用
当x=1时:(1+x)n=2n=1+C1n+C2n+...+Cmn+...+Cnn==>C1n+C2n+...+Cmn+...+Cnn=2n?1
但下列用法是错误的：
因为已知如下函数的幂级数展开：
11?x=1+x+x2+...+xn+...;(?1<x<1)
所以
1+2+4+8=8(18+28+48＋１)=8(11?12)=16
注意，这里级数收敛的意思是：当n趋于无穷的时候，这个展开式的和收敛到函数11?x。当n很小时，就可能离函数11?x的值很远。而上面那个例子可以用，是因为n为正整数时，它的展开式恰好等于它的二项展开式，二项展开式就等于函二项式本身，所以上一个例子应该叫二项展开式的应用，更为合理。
2.2 其它重用的幂级数
sinx=x?x33!+x55!...+(?1)n?1x2n?1(2n?1)!+..;(?∞<x<+∞)cosx=1?x22!+x44!+...+(?1)nx2n?1(2n?1)!+..;(?∞<x<+∞)ex=1+x+x22!+...+xnn!+...;(?1<x<1)
3 数列求和
3.1 等比数列求和
SqS相减：(1?q)S两边同时除以1?q,即得：S====a+aq+aq2+aq3+.+aqnaq+aq2+aq3+.+aqn+aq(n+1)a?aq(n+1)a[1?q(n+1)]/(1?q)
3.2 等差数列求和
倒序相加:
S3S32S3S3Sn=====3+4+5+66+5+4+33?(3+6)frac3?(3+6)2n(a0+an)2
4 集合的容斥原理
说有三个集合A、B、C，若集合中元素个数用Card（集合名)表示，那么Card（A∪B∪C）怎么求？
方法很简单，就是Card（A∪B∪C=Card（A）＋Card（B）＋Card（C）－Card（A∩B）－Card（B∩C）－Card（A∩C）+Card（A∩B∩C）所谓的容斥原理，如下图
当然两个集合更容易计算，即Card（A∪B）=Card（A）＋Card（B）－Card（A∩B）
那四个集合呢？
四个集合的图是这样的
看着比较乱， 考虑到比三个集合多一个，可以用Card(A∪B∪C∪D)=Card（A∪B∪C）+Card（D－A∪B∪C）就可以了，因为新插入一个集合，这样与D相关的集合就有了A∩D、B∩D、C∩D，由容斥原理，这三个集合的并集元素个数为
Card（(A∩D)∪(B∩D)∪(C∩D)）=Card（A∩D）＋Card（B∩D）＋Card（C∩D）－Card（A∩B∩D）－Card（A∩C∩D）－Card（B∩C∩D）＋Card（A∩B∩C∩D）
所以
Card（D－A∪B∪C）==Card（D）－Card（(A∩D)∪(B∩D)∪(C∩D)）Card（D）－Card（A∩D）－Card（B∩D）－Card（C∩D）＋Card（A∩B∩D）＋Card（A∩C∩D）＋Card（B∩C∩D）－Card（A∩B∩C∩D）
===>
Card（A∪B∪C∪D）==Card（A∪B∪C）＋Card（D－A∪B∪C）Card（A）＋Card（B）＋Card（C）＋Card（D）－Card（A∩B）－Card（A∩C）－Card（A∩D）－Card（B∩C）－Card（B∩D）－Card（C∩D）＋Card（B∩C∩D）＋Card（A∩C∩D）＋Card（A∩B∩D）＋Card（A∩B∩C）－Card（A∩B∩C∩D）
我们可以发现容斥原理的规律：
如果给定n个集合A(1)，A(2)，…，A(n)，那么
Card（A(1)∪A(2)....∪A(n)）=∑inCard（A(i)）－∑1≤i<j≤nCard（A(i)∩A(j)）＋∑1≤i<j<k≤nCard（A(i)∩A(j)∩A(k)）－，…，+(?1)n?1?Card(A(1)∩A(2)....∩A(n))