给定一个排好升序的数组A[1]、A[2]、……、A[n]，其元素的值都两两不相等。请设计一高效的算法找出中间所有A[i]
= i的下标。并分析其复杂度。
解析：首先分析一下这个数组，假设其中某个位置的A[i] = i，那么可以肯定的值，之前的A[x] > x，之后的A[x] < x。还有一个显而易见的性质就是中间的A[i]=i一定是连续存在的，不可能跨区域存在，因为这个数组是升序的。
我给出的方法是二分查找，具体的做法是：我们假设一个新数组B，其元素是A[i] - i的值，这样的话，B[i] = 0的时候A[i] = i，而且把B数组划分成了三个部分，左边的小于零的区域，中间的等于零的区域，右边的大于零的区域。
我第一次的想法是：二分搜索这个想象中的新数组，找到值为零的下标，但是这个下标不一定是最左边的满足条件的下标，所以我们还需要写一个while来往左移动这个下标，直到找到最左边的符合条件的下标，如下代码（假设已经通过二分查找找到了符合条件的一个下标idx）：
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1 2 |
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这样的话其时间复杂度就是O(logn) + O(n)，还是属于On)的范畴。
后来我想到，为什么只去随机命中一个目标下标呢！如果二分查找这个数据的边界的话，就能直接得到最左边符合条件的下标了！其实二分查找不仅仅适用于对一个元素的搜索，也可以用于两个、三个特定相对位置元素的搜索。每次查找的时候，假设当前位置是mid，那么只要判断当前A[mid] - mid是否小于零，以及后一个元素A[mid+1] - (mid+1) == 0就行了。
#include
<iostream>
usingnamespace
std;
intBinarySearch(intcc[], intlen)
{
intl
= 0, r = len, mid;
while(l
<= r)
{
mid
= l + ((r-l) >> 1);
if(mid
== 0 && cc[mid] == mid) //
若数组一开始就符合条件
return0;
//
若满足条件的下标不是从0开始，则边界是前一个<0，且后一个=0
if(cc[mid]-mid
< 0 && cc[mid+1]-(mid+1) == 0)
returnmid+1;
//
二分查找边界：前一个<0，且后一个=0
if(cc[mid]
- mid >= 0)
r
= mid-1;
else
l
= mid+1;
}
return-1;
}
intmain()
{
//
int cc[] = {0, 1};
//
int cc[] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
//
int cc[] = {-9, -8, -4, -2, 4, 5, 9};
//
int cc[] = {-5, -4, -3, 5, 6, 7};
intlen
= sizeof(cc)/sizeof(int);
intidx
= BinarySearch(cc, len);
if(idx
!= -1)
{
while(cc[idx]
== idx)
{
printf("%d
",
idx);
idx++;
}
}
else
{
printf("Not
found\n");
}
getchar();
return0;
}
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