动态规划问题一般具有两个要素：最优子结构与子问题重叠。
通常在求解LCS问题时，我们都会用到两种方法：
1. momo-ization（备忘录方法）
利用了该问题的重叠子问题特性，而重叠子问题可以使用递归直接解决
0 A B C B D A B
0 0 0 0 0 0 0 0 0
B 0 0 1 1 1 1 1 1
D 0 0 1 1 1 2 2 2
C 0 0 1 2 2 2 2 2
A 0 1 1 2 2 2 3 2
B 0 1 2 2 3 3 3 4
A 0 1 2 2 3 3 4 4
所谓自上而下就是从下表最大处开始递归求解，最终结果为LCS(x,y,x.length,y.length);
也就是上表中从最后一格向上回溯直到哨兵的过程，在求解每个子问题之前，我们先检测一下这个子问题之前有没有算过，若果有，那么不用计算直接返回结果，如果没有，那么就计算这个子问题，之后将结果保存起来，方便下次再遇到时使用。。
时间复杂度T(n) = O(mn);
空间复杂度S = O(mn);//二维数组
[java] view plaincopy
01.public class TTBlcs {
02. static int[][] c = new int[100][100];
03. static int NIF = 9999;
04. public static void main(String[] args) {
05. char[] x = {‘A‘,‘B‘,‘C‘,‘B‘,‘D‘,‘A‘,‘B‘};
06. char[] y = {‘B‘,‘D‘,‘C‘,‘A‘,‘B‘,‘A‘};
07.
08. //TTBlcs t = new TTBlcs();
09. for(int i = 0;i <= x.length;i++){//周围有一圈哨兵均为0
10. for(int j = 0;j <= y.length;j++)
11. {
12. c[i][j] = NIF;
13. }
14. }
15. System.out.print(LCS(x,y,x.length,y.length));//自上而下
16. }
17.
18. public static int LCS(char[] x,char[] y,int i,int j){
19. if(c[i][j] < NIF)//记录如果算出来便直接返回（备忘）
20. return c[i][j];
21. if((i == 0)||(j == 0)){
22. c[i][j] = 0;
23. }
24. else if(x[i-1] == y[j-1])
25. c[i][j] = LCS(x,y,i-1,j-1) + 1;
26. else
27. c[i][j] = LCS(x,y,i-1,j) >= LCS(x,y,i,j-1)? LCS(x,y,i-1,j):LCS(x,y,i,j-1);
28. return c[i][j];
29. }
30.
31.}
2. 动态规划DP：
所谓自下而上，就是从下标(1,1)处开始求解的过程，不过省去了递归的过程，自下而上的构建原问题的解，首先求解最基本的情况，再从最基本的情况一部一部的向上求解，比如我要求解[2…4]，那么我首先需要知道[2…2][3…4]和[2…3][4…4]的最优解，需要知道[3…4]，那么首先需要知道[3…3][4…4]的最优解，所以，倒不如我们将原问题需要的解先构建出来，再慢慢向上一层一层的构建，最后组成原问题的解！。
时间复杂度T(n) = O(mn);
空间复杂度S = O(mn);//二维数组
[java] view plaincopy
01.public class BTTlcs {
02. static int[][] c = new int[100][100];
03. public static void main(String[] args) {
04. char[] x = {‘A‘,‘B‘,‘C‘,‘B‘,‘D‘,‘A‘,‘B‘};
05. char[] y = {‘B‘,‘D‘,‘C‘,‘A‘,‘B‘,‘A‘};
06. for(int k = 0;k <= x.length;k++)
07. {
08. c[0][k] = 0;
09. }
10. for(int k = 0;k <= y.length;k++)
11. {
12. c[k][0] = 0;
13. }
14. LCS(x,y);
15. }
16.
17. public static void LCS(char[] x,char[] y){
18. for(int i = 1;i <= x.length;i++)
19. {
20. for(int j = 1;j <= y.length;j++)
21. {
22. if(x[i-1] == y[j-1])
23. c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
24. else
25. c[i][j] = c[i-1][j] >= c[i][j-1]?c[i-1][j]:c[i][j-1];
26. }
27. }
28. for(int i = 0;i <= x.length;i++)
29. {
30. for(int j = 0;j<y.length;j++)
31. {
32. System.out.print(c[i][j]);
33. }
34. System.out.print("\n");
35. }
36. System.out.print(c[x.length][y.length]);
37. }
38.}
自上而下的优点是并不需要求解每一个子问题的解，而是只求解有需要的子问题的解，缺点就是需要递归调用，函数调用浪费时间。
自下而上的优点是并不需要递归调用，每个子问题求解的速度较快，缺点每个子问题都要计算，就算这个子问题的解对原问题的解并没有任何帮助！