一个椭圆上有N个点,将这n个点两两相连,问最多能将这个椭圆分成多少片。
理清思路,慢慢推。
首先我们要想到欧拉公式:V+E-F=2
其中V为图上的顶点数,E为边数,F为平面数。
计算时的可以枚举点,从一个固定点出发的对角线(注意是对角,不包括与相邻点的连线),它的左边有i个点,那么右边就有n-2-i个点。左边与右边的点两两相连,能在这一条对角线上相交i*(n-2-i)各点。
一个固定点能与其他非相邻点连接n-3条对角线,那么一个固定点的连线就会生成sigema(i=1,n-3)(i*(n-2-i))个交点;
那么一个椭圆上一共有n各点,总共相交形成n * sigema(i=1,n-3)(i*(n-2-i)) 个交点;
注意这些交点必然会有重复点,一个交点会被计算几次呢?一个交点会影响两条对角线,一条对角线会涉及两个椭圆上的点,那么一个交点相当于算了4次。
再加上在椭圆上的点,那么V=(n * sigema(i=1,n-3)(i*(n-2-i)))/4 + n;
同理可以计算出E,一条对角线上有x个交点,那么这条对角线就会被分成x+1段,
一个固定点能与其他非相邻点连接n-3条对角线,那么一个固定点的连线就会生成sigema(i=1,n-3)(i*(n-2-i)+1)段线段;
一个椭圆上一共有n各点,总共会形成n * sigema(i=1,n-3)(i*(n-2-i)+1) 条线段;
每条线段当然也会被重复计算,一条线段在两个点的连线上,那么一条线段就相当于算了2次。
再加上在椭圆上相邻点的连线,那么E=(n * sigema(i=1,n-3)(i*(n-2-i))+1)/2 + n;
减掉外面的无限面,最后算出F-1=2+E-V;
注意V,E的计算要化简成公式,循环求解的人是愚蠢的。。。。
然后提醒一下涉及到求和求幂的要考虑是否会有精度问题,这题需要大数哦~