一道使用Fibonnaci数列通项公式的趣味题目
求
\[
\sum_{i=0}^n{n\choose i}f_i
\]
其中\(f_i\)表示Fibonnaci数列（\(f_0=0, f_1=1, f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\)）第n项。
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当时下面很多神仙都纷纷表达了自己的观点，什么矩阵快速幂、卷积。。。
结果老师讲正解，上来就用Fibonnaci数列通项公式。
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Fibonnaci数列通项公式它长这样：
\[
f_i=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]
\]
简单推一下式子：
\[
\begin{aligned}
\sum_{i=0}^n{n\choose i}f_i&=\sum_{i=0}^n{n\choose i}\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]\&=\frac{1}{\sqrt5}\left[\sum_{i=0}^n{n\choose i}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\sum_{i=0}^n{n\choose i}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]\&=\frac{1}{\sqrt5}\left[\sum_{i=0}^n{n\choose i}1^{n-i}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\sum_{i=0}^n{n\choose i}1^{n-i}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]\&=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(1+\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(1+\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]\&=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\right)^n\right]\&=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{2n}-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{2n}\right]\&=f_{2n}
\end{aligned}
\]
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一道使用Fibonnaci数列通项公式的趣味题目
原文地址：https://www.cnblogs.com/water-lift/p/12207514.html