论文题目：Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift
首先看看博客http://blog.csdn.net/happynear/article/details/44238541中最开始介绍的：
为什么中心化，方差归一化等，可以加快收敛？
补充一点：输入x集中在0周围，sigmoid更可能在其未饱和区域，梯度相对更大一些，收敛更快。
Abstract
1.深层网络训练时，由于模型参数在不断修改，所以各层的输入的概率分布在不断变化，这使得我们必须使用较小的学习率及较好的权重初值，导致训练很慢，同时也导致使用saturating nonlinearities 激活函数（如sigmoid，正负两边都会饱和）时训练很困难。
这种现象加 internal covariate shift ，解决办法是：对每层的输入进行归一化。
本文方法特点是 ：making normalization a part of the model
architecture and performing the normalization for each training
mini-batch
Batch Normalization 让我们可以使用更大的学习率，初值可以更随意。它起到了正则项的作用，在某些情况下，有它就不需要使用Dropout了。
在Imagenet上， achieves the same accuracy with 14 times fewertraining steps
Introduction
1. SGD:
用minibatch去近似整个训练集的梯度，在并行计算下，m个合成一个batch计算比单独计算m次快很多。
2.SGD虽然简单高效，但是需要调节很多超参，学习率，初值等。各层权重参数严重影响每层的输入，输入的小变动随着层数加深不断被放大。
这带来一个问题：各层输入分布的变动导致模型需要不停地去拟合新的分布。
当一个学习系统的输入分布是变化的时，即训练集的样本分布和测试集的样本分布不一致，训练的模型就很难有较好的泛化能力，这叫做 covariate shift (Shimodaira, 2000)，解决办法是domain adaptation (Jiang, 2008).和迁移学习。
BN想把输入的均值方差规范化，使输入分布一致，但是仅均值、方差一样的分布就一定一样吗？但是思路是这样，而且效果好。
也可以不只关注学习系统整体，而关注它的内部，如一个subnetwork或 a layer：
损失函数为：
sub-network的损失函数为：
SGD：
is exactly equivalent to that for a stand-alone network F2 with input x.
输入X的分布保持不变的话，参数就不需要 readjust 去补偿X分布的变化。
注意Sigmoid 函数的特性，当输入不集中在 0 附近时（饱和时），梯度会非常小，训练会很慢。然而，输入x受前面层的参数的影响，这些参数的变化很可能导致x过早变化到sigmoid函数的饱和区域，收敛减慢。这种影响随着深度增加而加大。
ReLU和好的初值、更小的学习率可以解决梯度消失的问题。但是，要是我们能让输入更稳定，就不太可能 get stuck in the saturated regime,训练也会加快。
3.这种深度网络内部，参数不断变化导致的各层输入分布的变化 称为 Internal Covariate Shift.
Batch Normalization
a.保持各层输入的均值和方差稳定，来减弱 internal covariate shift；
b.也让梯度受参数及其初值的减小；
c.它也算作正则项，减少对Dropout的依赖；
d.它让卡在饱和区域的概率降低，以便可以使用 saturating nonlinearities
Towards Reducing Internal Covariate Shift
1.网络输入白化会加快收敛 (LeCun et al., 1998b; Wiesler & Ney, 2011)
并不是直接在每层规范化这么简单，如果模型的优化求梯度时不考虑到归一化的话，会影响模型，就是你优化半天学到了某种分布，一规范化，就把这它破坏了。
2.规范化与某个样本的各层输入及所有样本的各层输入都有关（对某个规范化时用到了所有样本）：
在反向传导时，求导需考虑下面两项：
这样基于整个训练集的白化是非常耗时的，因为白化需要计算 x 的协方差矩阵及白化部分，还需计算BP算法中的求导。
但是基于某个或者部分样本进行规范化又会changes the representation ability of a network
所以本文在minibatch内归一化，再用可以学习的 γ 和 β 来拟合minibatch的统计量与整个训练集统计量之间的关系。
Normalization via Mini-Batch Statistics
1.有两个方面简化计算：
a.把 x 向量中每个元素当成独立随机变量单独进行规范化，向量中各变量独立了，也没有什么协方差矩阵了。这种规范化在各变量相关的情况下依然能加速收敛，(LeCun et al., 1998b),此外，如果看成向量中变量的联合概率，需要计算协方差矩阵，如果变量个数大于minibatch中样本数，协方差矩阵不可逆！！
b.在每个mini-batch中计算得到mini-batch mean和variance来替代整体训练集的mean和variance. Algorithm 1.
simply normalizing each input of a layer may change what the layer can represent.normalizing the inputs of a sigmoid would constrain them to the linear regime of the nonlinearity
为了解决这个问题，we make sure that the transformation inserted in the network can represent the identity transform.也就是用用可以学习的 γ 和 β 去拟合出与原先等价的变换。
采用 normalize via mini-batch statistics ，the statistics used for normalization can fully participate in the gradient backpropagation
Batch Normalizing Transform：
只要minibatch中的样本采样与同一分布，规范化后的输入 x 期望为0，方差为1，把规范后的 x 进行线性变换得到 y 作为后续层的输入，可以发现 后续层的输入具有固定的均值和方差的。尽管 规范化后的 x 的联合分布在训练过程中会改变(源于第一个简化，本文的规范化是把 x 向量中各个变量当作独立的，单独规范化的，所以他们的联合分布并不稳定，只是单独是稳定的)，但还是可以使训练加速。
2.优化中也需要对 BN 变换的两个参数进行优化，链式法则求导就可以了：
BN 变换是可微的，通过BN变换，可以减弱输入分布的 internal covariate shift ，并且学习到这个线性变换让 BN变换 与网络本来的变换 等价，preserves the network capacity
Training and Inference with Batch-Normalized Networks
1.使用BN，把网络中各层输入 x 变为 BN（x）即可。可以使用SGD及其各种变种训练。
2.训练时候在minibatch内规范化非常高效，但是推断时就不需要而且不应该这样了。推断是我们希望输出只取决于输入，所以规范化中的期望、方差用全部数据计算：
就是各minibatch的方差求平均，minibatch数量为m。
注意：推断时，均值和方差是固定的，那么规范化这步线性变换可以和 γ、β 这步线性变换 合成 一个线性变换。训练BN网络步骤如下：
Batch-Normalized Convolutional Networks
1. BN 可以用于任意层的 activations，但是把 BN 加在 W u +b 之后，非线性激活函数之前更好！
因为前层的 activations （这层的输入 u）是非线性输出的，其分布很可能在训练中变化；而 W u +b 更可能有 a symmetric, non-sparse distribution, that is “more Gaussian”
(Hyv¨arinen & Oja, 2000); 规范化它更有可能得到稳定的 activations 分布。
2. 注意 b 可以不管，因为减均值时 b 会被消掉，b 的作用其实被 β 代替了，所以：
BN是对 x =W u 的每一维单独规范化
3.对卷积层，规范化也该保持卷积特性，即 相同feature map，不同 location
的元素 用相同方式规范化：
a mini-batch of size m and feature maps of size p × q, m*p*q个元素一起规范化！每个 feature map 有一对 γ β。
Batch Normalization enables higher learning rates
1.太大的学习率可能导致 梯度爆炸或消失以及卡在局部极值，BN可以防止参数小变换被逐层放大，通过修改 γ、β可以优化 activations的变化。
一般来说，大学习率增加参数的scale，在BP中放大了梯度，导致模型爆炸。然而使用了 BN，每层的BP不受其参数影响：
The scale does not affect the layer Jacobian nor, consequently, the gradient propagation.
而且：大权重会导致更小的梯度，所以BN可以稳定参数的增长。
2.BN还可以使 layer Jacobians 的奇异值接近 1 .这更利于训练 (Saxe et al.,2013).
论文中有在高斯、独立且变换为线性等条件下，可以推出来，但是说实话假设有点太苛刻，有点强行解释的味道，论文也提出更普适的结论需后续研究。
Batch Normalization regularizes the model
1.使用BN后，训练时对于单个样本与整个minibatch综合考虑了，training network no longer producing deterministic values for a given training example
这有利于提升网络的泛化能力，可以代替 Dropout
Experiments
Activations over time
在mnist上用3个隐层，每层100个的神经元的网络进行实验，初值为高斯，sigmoid函数，迭代50000次，minibatch为60个样本，损失为交叉熵。
（a）可以看到，加BN测试精度更高，而且最开始就达到了较高的精度；
（b,c）可以明显看到加BN后分布更加稳定。图中三条线为{15，50，85}分位数。
后面的实验就看论文了。