如果不谈证明，稍微有点线代基础的人都可以在两分钟内学完所有相关内容。。
行列式随便找本线代书看一下基本性质就好了。
学习资源：
https://www.cnblogs.com/candy99/p/6420935.html
http://blog.csdn.net/Marco_L_T/article/details/72888138
首先是行列式对几个性质（基本上都是用数学归纳法证）：
1.交换两行（列），行列式取相反数
2.由1.得若存在两行（列）完全相同则行列式为0
3.上（下）三角行列式即主对角线值之积
只有这三条用得上。
然后就可以直接上Matrix Tree定理了：一个无向图的邻接矩阵减去度数矩阵得到的矩阵的任意n-1阶子式的行列式的绝对值等于其有标号生成树的数目。
其中邻接矩阵-度数矩阵即为基尔霍夫矩阵（又称拉普拉斯算子）。
加强版：有向图的树形图（从根可以走到任意点）个数，将上面的“度数矩阵”改为“入度矩阵即可”（见第二份链接）
关于行列式的算法，按定义朴素跑复杂度是阶乘级别的，利用上面的性质，初等行变换使之成为上三角矩阵即可。（实际上就是高斯消元）。注意高消中基准元要选绝对值最大的，以及注意判0退出。
下面是几道裸题：
SPOJ Highways 裸题
1 #include<cmath>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<algorithm>
5 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
6 using namespace std;
7
8 const int N=15;
9 const double eps=1e-8;
10
11 int T,n,m,u,v;
12 double a[N][N];
13
14 void Gauss(){
15 n--;
16 rep(i,1,n){
17 int r=i;
18 rep(j,i+1,n) if (fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i])) r=j;
19 if (fabs(a[r][i]<eps)) { puts("0"); return; }
20 if (r!=i) rep(k,1,n) swap(a[r][k],a[i][k]);
21 rep(j,i+1,n){
22 double t=a[j][i]/a[i][i];
23 rep(k,i,n) a[j][k]-=t*a[i][k];
24 }
25 }
26 double ans=1;
27 rep(i,1,n) ans*=a[i][i];
28 printf("%.0f\n",abs(ans));
29 }
30
31 int main(){
32 for (scanf("%d",&T); T--; ){
33 scanf("%d%d",&n,&m);
34 memset(a,0,sizeof(a));
35 rep(i,1,m) scanf("%d%d",&u,&v),a[u][u]++,a[v][v]++,a[u][v]--,a[v][u]--;
36 Gauss();
37 }
38 return 0;
39 }
BZOJ4766:
先手工构造出矩阵然后观察规律求出公式。
https://blog.sengxian.com/solutions/bzoj-4766
1 #include<cstdio>
2 #include<algorithm>
3 using namespace std;
4 typedef long long ll;
5
6 ll n,m,P;
7 ll mod(ll x){ return (x<P) ? x : x-P; }
8
9 ll mul(ll a,ll b){
10 ll res=0;
11 for (; b; b>>=1,a=mod(a+a))
12 if (b & 1) res=mod(res+a);
13 return res;
14 }
15
16 ll pow(ll a,ll b){
17 ll res=1;
18 for (; b; b>>=1,a=mul(a,a))
19 if (b & 1) res=mul(res,a);
20 return res;
21 }
22
23 int main(){
24 scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&P);
25 printf("%lld\n",mul(pow(n,m-1),pow(m,n-1)));
26 return 0;
27 }
BZOJ4031 裸题
这里又个trick，高斯消元的时候因为模数是个合数不好求逆元，所以用辗转相除的方法做就好了。
就是不停对两行相互进行初等行变换直到其中一行第一个数变为0，这样复杂度是log的，并且保证膜意义下不会出错。
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
5 typedef long long ll;
6 using namespace std;
7
8 const int N=105,md=1000000000;
9 int n,m,a[N][N],id[N][N],tot;
10 char s[N][N];
11
12 void Gauss(int n){
13 int s=0;
14 rep(i,1,n){
15 int r=i;
16 rep(j,i+1,n) if (a[j][i]>a[r][i]) r=j;
17 if (!a[r][i]) { puts("0"); return; }
18 if (i!=r){
19 s^=1;
20 rep(k,i,n) swap(a[i][k],a[r][k]);
21 }
22 rep(j,i+1,n){
23 while (a[j][i]){
24 ll t=a[j][i]/a[i][i];
25 rep(k,i,n) a[j][k]=(a[j][k]-t*a[i][k]%md+md)%md;
26 if (!a[j][i]) break;
27 s^=1;
28 rep(k,i,n) swap(a[i][k],a[j][k]);
29 }
30 }
31 }
32 ll ans=1;
33 rep(i,1,n) ans=ans*a[i][i]%md;
34 if (s) ans=(md-ans)%md;
35 printf("%lld\n",ans);
36 }
37
38 void work(){
39 rep(i,1,m) rep(j,1,n) if (s[i][j]==‘.‘) id[i][j]=++tot;
40 rep(i,1,m) rep(j,1,n) if (id[i][j]){
41 int u=id[i][j],v;
42 if (i!=1 && s[i-1][j]==‘.‘)
43 v=id[i-1][j],a[u][u]++,a[v][v]++,a[u][v]--,a[v][u]--;
44 if (j!=1 && s[i][j-1]==‘.‘)
45 v=id[i][j-1],a[u][u]++,a[v][v]++,a[u][v]--,a[v][u]--;
46 }
47 rep(i,1,m*n) rep(j,1,m*n) a[i][j]=(a[i][j]+md)%md;
48 }
49
50 int main(){
51 freopen("bzoj4031.in","r",stdin);
52 freopen("bzoj4031.out","w",stdout);
53 scanf("%d%d",&m,&n);
54 rep(i,1,m) scanf("%s",s[i]+1);
55 work(); Gauss(tot-1);
56 return 0;
57 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/8481592.html