1. 对任意实数 $x$, 比较 $3x^2 + 2x - 1$ 与 $x^2 + 5x - 3$ 的大小.
解答: $$(3x^2 + 2x - 1)-(x^2 + 5x - 3) = 2x^2 - 3x + 2 = 2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{7}{8} > 0$$ $$\Rightarrow 3x^2 + 2x - 1 > x^2 + 5x - 3.$$
2. 四边形的四条边长分别为 $a, b, c, d$, 它们满足等式 $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd$, 试判断四边形的形状.
解答: $$a^4 + b^4 + c^4 + d^4 - 4abcd = (a^2 - b^2)^2 + (c^2 - d^2)^2 + 2(ab - cd)^2 = 0$$ $$\Rightarrow a = b,\ c = d,\ ab = cd \Rightarrow a = b = c= d.$$ 因此该四边形是菱形.
3. 若 $a, b$ 为实数, 且 $|a - 1| + \sqrt{ab-2} = 0$, 求$${1\over ab} + {1\over (a+1)(b+1)} +{1\over (a+2)(b+2)} + \cdots\cdots + {1\over (a+2017)(b+2017)}$$的值.
解答: $$\begin{cases}a - 1 = 0\\ ab - 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow a = 1,\ b = 2.$$ $$\Rightarrow \frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} + \cdots + \frac{1}{2018\times2019} = 1 - \frac{1}{2019} = \frac{2018}{2019}.$$
4. 求 $|x+1| - |x-2|$ 之最大值与最小值.
解答: $$||x + 1| - |x - 2|| \le |(x+1) - (x-2)| = 3$$ $$\Rightarrow -3 \le |x+1| - |x - 2| \le 3.$$
5. 解不等式: $|x-1| + |x-2| \le7$.
解答:
由零点分段法或几何意义均可得 $x\in[-2, 5]$.
6. 求 $|x+3| + |x-2| + |x+1|$ 之最小值.
解答:
三个零点为 $x_1 = -3$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$,
因此当 $x = -1$ 时可取的最小值为 $5$.
7. $m, n$ 都是从 $1$ 到 $10$ 的正整数, $m$ 被 $3$ 除的余数记为 $f(m)$, $n$ 被 $4$ 除的余数记为 $g(n)$ 且有 $$\sqrt{n}f(m) + m^2g(n) = 0$$ 求 $m + 4n$ 的最大值.
解答: $$f(m) \ge 0, g(n) \ge 0 \Rightarrow f(m) = g(n) = 0 \Rightarrow 3\ |\ m,\ 4\ |\ n$$ $$\Rightarrow m+4n \le 9 + 4\times8 = 41.$$
主讲教师:
赵胤, 理学硕士(数学) & 教育硕士(数学), 中国数学奥林匹克一级教练员, 高级中学数学教师资格.