【转】白话经典算法系列之七 堆与堆排序

堆排序与快速排序，归并排序一样都是时间复杂度为O(N*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。

二叉堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：

由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

堆的操作——插入删除

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照《白话经典算法系列之二 直接插入排序的三种实现》不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：

[cpp] view plain copy

1. //  新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2
2. void MinHeapFixup(int a[], int i)
3. {
4. int j, temp;
5. temp = a[i];
6. j = (i - 1) / 2;      //父结点
7. while (j >= 0 && i != 0)
8. {
9. if (a[j] <= temp)
10. break;
11. a[i] = a[j];     //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点
12. i = j;
13. j = (i - 1) / 2;
14. }
15. a[i] = temp;
16. }

更简短的表达为：

[cpp] view plain copy

1. void MinHeapFixup(int a[], int i)
2. {
3. for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)
4. Swap(a[i], a[j]);
5. }

插入时：

[cpp] view plain copy

1. //在最小堆中加入新的数据nNum
2. void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)
3. {
4. a[n] = nNum;
5. MinHeapFixup(a, n);
6. }

堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

[cpp] view plain copy

1. //  从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
2. void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)
3. {
4. int j, temp;
5. temp = a[i];
6. j = 2 * i + 1;
7. while (j < n)
8. {
9. if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的
10. j++;
11. if (a[j] >= temp)
12. break;
13. a[i] = a[j];     //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点
14. i = j;
15. j = 2 * i + 1;
16. }
17. a[i] = temp;
18. }
19. //在最小堆中删除数
20. void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)
21. {
22. Swap(a[0], a[n - 1]);
23. MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
24. }

堆化数组

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：

很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：

写出堆化数组的代码：

[cpp] view plain copy

1. //建立最小堆
2. void MakeMinHeap(int a[], int n)
3. {
4. for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
5. MinHeapFixdown(a, i, n);
6. }

至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

堆排序

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。

[cpp] view plain copy

1. void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)
2. {
3. for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
4. {
5. Swap(a[i], a[0]);
6. MinHeapFixdown(a, 0, i);
7. }
8. }

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。STL也实现了堆的相关函数，可以参阅《STL系列之四 heap 堆》