一、问题引入
对于给出如下的离散的数据点，现在想根据如下的数据点来推测x=5时的值，我们应该采用什么方法呢？
用于拟合样条函数的数据：
x f ( x)
3.0 2.5
4.5 1.0
7.0 2.5
9.0 0.5
我们知道在平面上两个点确定一条直线，三个点确定一条抛物线（假设曲线的类型是抛物线），那么现在有四个点，我们很自然的会想到，既然两个点确定一条直线，那么最简单的方法就是，两个点之间连一条线，两个点之间连一条线，最后得到的一种折线图如下：这样我们只要确定x=5时的直线，把自变量的值带进去，就显然会得到预测的函数值。但是，这种方法显然具有很明显的缺陷：曲线不够光滑，连接点处的斜率变化过大。可能会导致函数的一阶导数不连续。那么我们应该如何解决这个问题呢？
二次样条的原理
我们会想到既然直线不行，那么我们就用曲线来近似的代替和描述。最简单的曲线是二次函数，如果我们用二次函数：aX^2+bx+c来描述曲线，最后的结果可能会好一点，下图中一共有4个点，可以分成3个区间。每一个区间都需要一个二次函数来描述，一共需要9个未知数。下面的任务就是找出9个方程。
如下图所示：一共有x0,x1,x2,x3四个点，三个区间，每个区间上都有一个方程。
1>曲线方程在节点处的值必须相等，即函数在x1,x2两个点处的值必须符合两个方程，这里一共是4个方程：
a1*x1^2+b1*x1+c1=f(x1)
a2*x1^2+b2*x1+c2=f(x1)
a2*x2^2+b2*x2+c2=f(x2)
a3*x2^2+b3*x2+c3=f(x2)
2>第一个端点和最后一个端点必须过第一个和最后一个方程：这里一共是2个方程
3>节点处的一阶导数的值必须相等。这里为两个方程。
2*a1*x1+b1=2*a2*x1+b2
2*a2*x2+b2=2*a3*x2+b3
4>在这里假设第一个方程的二阶导数为0：这里为一个方程：
a1=0
上面是对应的9个方程，现在只要把九个方程联立求解，最后就可以实现预测x=5处节点的值。
下面是写成矩阵的形式,由于a1=0，所以未知数的个数少了一个。
下面是二次样条的python实现，最后将结果绘制在图上。
1 import numpy as np
2 import matplotlib.pyplot as plt
3 from pylab import mpl
4 """
5 三次样条实现：
6 函数x的自变量为:3, 4.5, 7, 9
7 因变量为：2.5, 1 2.5, 0.5
8 """
9 x = [3, 4.5, 7, 9]
10 y = [2.5, 1, 2.5, 0.5]
11
12
13 """
14 功能：完后对三次样条函数求解方程参数的输入
15 参数：要进行三次样条曲线计算的自变量
16 返回值：方程的参数
17 """
18 def calculateEquationParameters(x):
19 #parameter为二维数组，用来存放参数，sizeOfInterval是用来存放区间的个数
20 parameter = []
21 sizeOfInterval=len(x)-1;
22 i = 1
23 #首先输入方程两边相邻节点处函数值相等的方程为2n-2个方程
24 while i < len(x)-1:
25 data = init(sizeOfInterval*4)
26 data[(i-1)*4] = x[i]*x[i]*x[i]
27 data[(i-1)*4+1] = x[i]*x[i]
28 data[(i-1)*4+2] = x[i]
29 data[(i-1)*4+3] = 1
30 data1 =init(sizeOfInterval*4)
31 data1[i*4] =x[i]*x[i]*x[i]
32 data1[i*4+1] =x[i]*x[i]
33 data1[i*4+2] =x[i]
34 data1[i*4+3] = 1
35 temp = data[2:]
36 parameter.append(temp)
37 temp = data1[2:]
38 parameter.append(temp)
39 i += 1
40 # 输入端点处的函数值。为两个方程, 加上前面的2n - 2个方程，一共2n个方程
41 data = init(sizeOfInterval * 4 - 2)
42 data[0] = x[0]
43 data[1] = 1
44 parameter.append(data)
45 data = init(sizeOfInterval * 4)
46 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 ] = x[-1] * x[-1] * x[-1]
47 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 1] = x[-1] * x[-1]
48 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 2] = x[-1]
49 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 3] = 1
50 temp = data[2:]
51 parameter.append(temp)
52 # 端点函数一阶导数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为3n-1个方程。
53 i=1
54 while i < sizeOfInterval:
55 data = init(sizeOfInterval * 4)
56 data[(i - 1) * 4] = 3 * x[i] * x[i]
57 data[(i - 1) * 4 + 1] = 2 * x[i]
58 data[(i - 1) * 4 + 2] = 1
59 data[i * 4] = -3 * x[i] * x[i]
60 data[i * 4 + 1] = -2 * x[i]
61 data[i * 4 + 2] = -1
62 temp = data[2:]
63 parameter.append(temp)
64 i += 1
65 # 端点函数二阶导数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为4n-2个方程。且端点处的函数值的二阶导数为零，为两个方程。总共为4n个方程。
66 i = 1
67 while i < len(x) - 1:
68 data = init(sizeOfInterval * 4)
69 data[(i - 1) * 4] = 6 * x[i]
70 data[(i - 1) * 4 + 1] = 2
71 data[i * 4] = -6 * x[i]
72 data[i * 4 + 1] = -2
73 temp = data[2:]
74 parameter.append(temp)
75 i += 1
76 return parameter
77
78
79
80 """
81 对一个size大小的元组初始化为0
82 """
83 def init(size):
84 j = 0;
85 data = []
86 while j < size:
87 data.append(0)
88 j += 1
89 return data
90
91 """
92 功能：计算样条函数的系数。
93 参数：parametes为方程的系数，y为要插值函数的因变量。
94 返回值：三次插值函数的系数。
95 """
96
97 def solutionOfEquation(parametes,y):
98 sizeOfInterval = len(x) - 1;
99 result = init(sizeOfInterval*4-2)
100 i=1
101 while i<sizeOfInterval:
102 result[(i-1)*2]=y[i]
103 result[(i-1)*2+1]=y[i]
104 i+=1
105 result[(sizeOfInterval-1)*2]=y[0]
106 result[(sizeOfInterval-1)*2+1]=y[-1]
107 a = np.array(calculateEquationParameters(x))
108 b = np.array(result)
109 for data_x in b:
110 print(data_x)
111 return np.linalg.solve(a,b)
112
113 """
114 功能：根据所给参数，计算三次函数的函数值：
115 参数:parameters为二次函数的系数，x为自变量
116 返回值：为函数的因变量
117 """
118 def calculate(paremeters,x):
119 result=[]
120 for data_x in x:
121 result.append(paremeters[0]*data_x*data_x*data_x+paremeters[1]*data_x*data_x+paremeters[2]*data_x+paremeters[3])
122 return result
123
124
125 """
126 功能：将函数绘制成图像
127 参数：data_x,data_y为离散的点.new_data_x,new_data_y为由拉格朗日插值函数计算的值。x为函数的预测值。
128 返回值：空
129 """
130 def Draw(data_x,data_y,new_data_x,new_data_y):
131 plt.plot(new_data_x, new_data_y, label="拟合曲线", color="black")
132 plt.scatter(data_x,data_y, label="离散数据",color="red")
133 mpl.rcParams[‘font.sans-serif‘] = [‘SimHei‘]
134 mpl.rcParams[‘axes.unicode_minus‘] = False
135 plt.title("三次样条函数")
136 plt.legend(loc="upper left")
137 plt.show()
138
139
140 result=solutionOfEquation(calculateEquationParameters(x),y)
141 new_data_x1=np.arange(3, 4.5, 0.1)
142 new_data_y1=calculate([0,0,result[0],result[1]],new_data_x1)
143 new_data_x2=np.arange(4.5, 7, 0.1)
144 new_data_y2=calculate([result[2],result[3],result[4],result[5]],new_data_x2)
145 new_data_x3=np.arange(7, 9.5, 0.1)
146 new_data_y3=calculate([result[6],result[7],result[8],result[9]],new_data_x3)
147 new_data_x=[]
148 new_data_y=[]
149 new_data_x.extend(new_data_x1)
150 new_data_x.extend(new_data_x2)
151 new_data_x.extend(new_data_x3)
152 new_data_y.extend(new_data_y1)
153 new_data_y.extend(new_data_y2)
154 new_data_y.extend(new_data_y3)
155 Draw(x,y,new_data_x,new_data_y)
二次插值
二次样条函数运行之后的结果如下，从图像中，我们可以看出，二次样条在函数的连接处的曲线是光滑的。这时候，我们将x=5输入到函对应的函数端中，就可以预测相应的函数值。但是，这里还有一个问题，就是二次样条函数的前两个点是直线，而且函数的最后一个区间内看起来函数凸出很高。我们还想解决这些问题，这时候，我们想是否可以用三次样条函数来进行函数的模拟呢？
三次样条的原理：
三次样条的原理和二次样条的原理相同，我们用函数aX^3+bX^2+cX+d这个函数来进行操作，这里一共是4个点，分为3个区间，每个区间一个三次样条函数的话，一共是12个方程，只要我们找出这12个方程，这个问题就算解决了。
1>内部节点处的函数值应该相等，这里一共是4个方程。
2>函数的第一个端点和最后一个端点，应该分别在第一个方程和最后一个方程中。这里是2个方程。
3>两个函数在节点处的一阶导数应该相等。这里是两个方程。
4>两个函数在节点处的二阶导数应该相等，这里是两个方程。
5>端点处的二阶导数为零，这里是两个方程。
a1=0
b1=0
三次样条的phthon实现
1 import numpy as np
2 import matplotlib.pyplot as plt
3 from pylab import mpl
4 """
5 三次样条实现：
6 函数x的自变量为:3, 4.5, 7, 9
7 因变量为：2.5, 1 2.5, 0.5
8 """
9 x = [3, 4.5, 7, 9]
10 y = [2.5, 1, 2.5, 0.5]
11
12
13 """
14 功能：完后对三次样条函数求解方程参数的输入
15 参数：要进行三次样条曲线计算的自变量
16 返回值：方程的参数
17 """
18 def calculateEquationParameters(x):
19 #parameter为二维数组，用来存放参数，sizeOfInterval是用来存放区间的个数
20 parameter = []
21 sizeOfInterval=len(x)-1;
22 i = 1
23 #首先输入方程两边相邻节点处函数值相等的方程为2n-2个方程
24 while i < len(x)-1:
25 data = init(sizeOfInterval*4)
26 data[(i-1)*4] = x[i]*x[i]*x[i]
27 data[(i-1)*4+1] = x[i]*x[i]
28 data[(i-1)*4+2] = x[i]
29 data[(i-1)*4+3] = 1
30 data1 =init(sizeOfInterval*4)
31 data1[i*4] =x[i]*x[i]*x[i]
32 data1[i*4+1] =x[i]*x[i]
33 data1[i*4+2] =x[i]
34 data1[i*4+3] = 1
35 temp = data[2:]
36 parameter.append(temp)
37 temp = data1[2:]
38 parameter.append(temp)
39 i += 1
40 # 输入端点处的函数值。为两个方程, 加上前面的2n - 2个方程，一共2n个方程
41 data = init(sizeOfInterval * 4 - 2)
42 data[0] = x[0]
43 data[1] = 1
44 parameter.append(data)
45 data = init(sizeOfInterval * 4)
46 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 ] = x[-1] * x[-1] * x[-1]
47 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 1] = x[-1] * x[-1]
48 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 2] = x[-1]
49 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 3] = 1
50 temp = data[2:]
51 parameter.append(temp)
52 # 端点函数一阶导数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为3n-1个方程。
53 i=1
54 while i < sizeOfInterval:
55 data = init(sizeOfInterval * 4)
56 data[(i - 1) * 4] = 3 * x[i] * x[i]
57 data[(i - 1) * 4 + 1] = 2 * x[i]
58 data[(i - 1) * 4 + 2] = 1
59 data[i * 4] = -3 * x[i] * x[i]
60 data[i * 4 + 1] = -2 * x[i]
61 data[i * 4 + 2] = -1
62 temp = data[2:]
63 parameter.append(temp)
64 i += 1
65 # 端点函数二阶导数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为4n-2个方程。且端点处的函数值的二阶导数为零，为两个方程。总共为4n个方程。
66 i = 1
67 while i < len(x) - 1:
68 data = init(sizeOfInterval * 4)
69 data[(i - 1) * 4] = 6 * x[i]
70 data[(i - 1) * 4 + 1] = 2
71 data[i * 4] = -6 * x[i]
72 data[i * 4 + 1] = -2
73 temp = data[2:]
74 parameter.append(temp)
75 i += 1
76 return parameter
77
78
79
80 """
81 对一个size大小的元组初始化为0
82 """
83 def init(size):
84 j = 0;
85 data = []
86 while j < size:
87 data.append(0)
88 j += 1
89 return data
90
91 """
92 功能：计算样条函数的系数。
93 参数：parametes为方程的系数，y为要插值函数的因变量。
94 返回值：三次插值函数的系数。
95 """
96
97 def solutionOfEquation(parametes,y):
98 sizeOfInterval = len(x) - 1;
99 result = init(sizeOfInterval*4-2)
100 i=1
101 while i<sizeOfInterval:
102 result[(i-1)*2]=y[i]
103 result[(i-1)*2+1]=y[i]
104 i+=1
105 result[(sizeOfInterval-1)*2]=y[0]
106 result[(sizeOfInterval-1)*2+1]=y[-1]
107 a = np.array(calculateEquationParameters(x))
108 b = np.array(result)
109 for data_x in b:
110 print(data_x)
111 return np.linalg.solve(a,b)
112
113 """
114 功能：根据所给参数，计算三次函数的函数值：
115 参数:parameters为二次函数的系数，x为自变量
116 返回值：为函数的因变量
117 """
118 def calculate(paremeters,x):
119 result=[]
120 for data_x in x:
121 result.append(paremeters[0]*data_x*data_x*data_x+paremeters[1]*data_x*data_x+paremeters[2]*data_x+paremeters[3])
122 return result
123
124
125 """
126 功能：将函数绘制成图像
127 参数：data_x,data_y为离散的点.new_data_x,new_data_y为由拉格朗日插值函数计算的值。x为函数的预测值。
128 返回值：空
129 """
130 def Draw(data_x,data_y,new_data_x,new_data_y):
131 plt.plot(new_data_x, new_data_y, label="拟合曲线", color="black")
132 plt.scatter(data_x,data_y, label="离散数据",color="red")
133 mpl.rcParams[‘font.sans-serif‘] = [‘SimHei‘]
134 mpl.rcParams[‘axes.unicode_minus‘] = False
135 plt.title("三次样条函数")
136 plt.legend(loc="upper left")
137 plt.show()
138
139
140 result=solutionOfEquation(calculateEquationParameters(x),y)
141 new_data_x1=np.arange(3, 4.5, 0.1)
142 new_data_y1=calculate([0,0,result[0],result[1]],new_data_x1)
143 new_data_x2=np.arange(4.5, 7, 0.1)
144 new_data_y2=calculate([result[2],result[3],result[4],result[5]],new_data_x2)
145 new_data_x3=np.arange(7, 9.5, 0.1)
146 new_data_y3=calculate([result[6],result[7],result[8],result[9]],new_data_x3)
147 new_data_x=[]
148 new_data_y=[]
149 new_data_x.extend(new_data_x1)
150 new_data_x.extend(new_data_x2)
151 new_data_x.extend(new_data_x3)
152 new_data_y.extend(new_data_y1)
153 new_data_y.extend(new_data_y2)
154 new_data_y.extend(new_data_y3)
155 Draw(x,y,new_data_x,new_data_y)
三次插值
三次样条函数运行结果如下：
原文转自：https://blog.csdn.net/deramer1/article/details/79034201
原文地址：https://www.cnblogs.com/YiYA-blog/p/10485791.html
时间： 2024-10-10 04:25:12