①数学表达形式：设$y=f(x)$在$(A,B)$区间中可导，又设$[a,b]$包含于$(A,B)$,且$f‘(a)<f‘(b),$则对任给的$\eta:f‘(a)<\eta<f‘(b),$都存在$c\in(a,b)$使得$f‘(c)=\eta$.

②其他形式：若函数$f(x)$在$[a,b]$上可导，则$f‘(x)$在$[a,b]$上可取$f‘(a)$和$f‘(b)$之间任何值.

③等价形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可微，若$[a,b]$上$f‘(x)$不等于0，则$f‘(x)$在$[a,b]$上保持定号（恒正或恒负）.

④微分$Darboux$定理的推广：若$f(x),g(x)$均在$[a,b]$上可导，并且在$[a,b]$上，$g‘(x)\ne 0$,则$\frac{f‘(x)}{g‘(x)}$可以取$\frac{f‘(a)}{g‘(a)}$与$\frac{f‘(b)}{g‘(b)}$之间的任意值.

例：设$f(x)$在$[a,b]$上三阶可微，证明存在$c\in(a,b)$,使得$$f(b)=f(a)+f‘(\frac{a+b}{2})(b-a)+\frac{1}{24}f‘‘‘(c)(b-a)^3.$$

证：由$taylor$公式：存在$\xi_1\in(a,\frac{a+b}{2}),\xi_2\in(\frac{a+b}{2},b),$使得：$$f(a)=f(\frac{a+b}{2})+f‘(\frac{a+b}{2}）(-\frac{b-a}{2})+\frac{1}{2!}f‘‘(\frac{a+b}{2})(-\frac{b-a}{2})^2+\frac{1}{3!}f‘‘‘(\xi_1)(-\frac{b-a}{2})^3.$$$$f(b)=f(\frac{a+b}{2})+f‘(\frac{a+b}{2})(\frac{b-a}{2})+\frac{1}{2!}f‘‘(\frac{a+b}{2})(\frac{b-a}{2})^2+\frac{1}{3!}f‘‘‘(\xi_2)(\frac{b-a}{2})^3.$$

相减得$$f(b)=f(a)+f‘(\frac{a+b}{2})(b-a)+\frac{1}{24}\frac{f‘‘‘(\xi_1)+f‘‘‘(\xi_2)}{2}(b-a)^3\qquad(a<\xi_1<\frac{a+b}{2}<\xi_2<b).$$

若$f‘‘‘(\xi_1)=f‘‘‘(\xi_2)$,则取$c=\xi_1$或$\xi_2$即可.

若$f‘‘‘(\xi_1)\ne f‘‘‘(\xi_2)$,则$\frac{f‘‘‘(\xi_1)+f‘‘‘(\xi_2)}{2}$介于$f‘‘‘(\xi_1)$与$f‘‘‘(\xi_2)$之间.此时在$[\xi_1,\xi_2]$上,对$f‘‘(x)$应用达布定理，知：

存在$c\in(\xi_1,\xi_2)$,使得：

$$f(b)=f(a)+f‘(\frac{a+b}{2})(b-a)+\frac{1}{24}f‘‘‘(c)(b-a)^3.$$