GZS的三角形

GZS的三角形

发布时间: 2015年9月6日 15:18   最后更新: 2016年6月26日 12:10   时间限制: 1000ms   内存限制: 256M

描述

机智无比的G神今天完成了一天的任务，实在是无聊的紧，拿起一支笔在纸上画起了三角形，边长为1， 2， 3，.........

即使是无聊到这种程度，G神发达的大脑也在不停的思考，从顶部的点到沿着所画出的边到达底边的方案有多少种呢。

结果可能比较大， 结果对1000003取余。

例如，边长为2的情况如下所示：

输入

第一行有一个整数 T (1 <= T <= 1000) ，是三角形的个数。
接下来T行，每行一个整数 N (1 <= N <= 10^18)，代表三角形边长。

输出

输出T行，每行代表方案数，结果对1000003取余。

样例输入1
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样例输出1

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一道找规律好题？

先给出答案通项吧。

\( ans_n = n! \times 2^n \)

再来给出解释——

我们可以把其看作一个DP，有

\( ans_n = 2n \times ans_{n-1} \)

考虑到达n-1的底层的每个方案，在其基础上有多少方案到达n的底层呢？

不难发现，对于一个到达n-1的底层某个固定点的方案，到n的底层中间的n-1个点（除了最左和最右点），都有且仅有两种方案，即最后一步是或最后一步是。而最左和最右都只有一种方案，加起来就是\( 2 \times (n-1) + 1 + 1 = 2 \times n \)。

然后，考虑编程问题，n!可以暴力递推前1000002项，而当\( n \geq 1000003 \)时，n!在模意义一定为0。至于\( 2^n \)，写个快速幂就好了。

 1 #include <cstdio>
 2
 3 #define int long long
 4
 5 const int mxn = 1000010;
 6 const int mod = 1000003;
 7
 8 int n, cas, fac[mxn];
 9
10 inline int pow(int a, int b) {
11     int r = 1;
12     for (; b; b >>= 1) {
13         if (b & 1)
14             r = r * a % mod;
15         a = a * a % mod;
16     }
17     return r;
18 }
19
20 signed main() {
21     fac[0] = 1;
22     for (int i = 1; i < mod; ++i)
23         fac[i] = i * fac[i - 1] % mod;
24     for (scanf("%lld", &cas); cas--; )
25         if (scanf("%lld", &n), n < mod)
26             printf("%lld\n", fac[n] * pow(2, n) % mod);
27         else
28             puts("0");
29 }