【Code_Vs_1014】解题报告

文章标题：【Code_Vs_1014】解题报告与总结

作者 ：SinTASO

题目描述

有一个箱子容量为V（正整数，0＜＝V＜＝20000），同时有N个物品（0＜N＜＝30），每个物品有一个体积（正整数）。要求N个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

【错解】

记 D[i] 为容量为 i 的箱子的最小剩余空间，赋初值为 i。（整型一维数组）

记 A[i] 为编号为 i 的物品的给定占用空间，由输入流读入。（整型一维数组）

动态规划：

初状态：i=0；

末状态：i=V；

状态转移方程：D[i]=Min{ D[i - A[j]] if i>=A[j] } , j∈[1 , N];

输出答案：D[V]；

【反思】

这段程序忽视了“每个物体只能被装进去一次”的隐藏条件。例如，在问题A 中将物体i装入背包，问题A变为了问题 A的子问题B，假定此次结果最优：那么如果子问题B的最优解在产生时便已将物体 i 装入了背包，在问题A的最优解中，物体i装入了两次——不符合条件。

【正解】

记D[ i , j ] 为前 i 个物体不超过 j 的最大占用空间，赋初值为0。（整型二维数组）

记 A[i] 为编号为 i 的物品的给定占用空间，由输入流读入。（整型一维数组）

动态规划：

初状态：i=1，j=1..V;

末状态：i=N，j=1..V;

状态转移方程：D[i , j]=Max{D[i - 1 , j] , if j>=A[i] ? D[i - 1 , j - A[i]] + A[i] : 0};

输出答案：V - D[N , V]；

【总结】

这道题属于“01背包”类型，程序的“状态转移方程”就是不断地在“装”和“不装”两种情况中寻找最优解。

【Pascal实现】

 1 Program Codevs1014;
 2 Const maxv=20000;
 3       maxn=30;
 4 Var A:array[0..maxn] of longint;
 5     D:array[0..maxn,0..maxv] of longint;
 6     n,v,i,j,k:longint;
 7   Function bigger(a,b:longint):longint;
 8   begin
 9     if a<b then exit(b);
10     exit(a);
11   end;
12 Begin
13    readln(v);
14    readln(n);
15    for i:=1 to n do readln(A[i]);
16    fillchar(D,sizeof(D),0);
17    for i:=1 to n do
18      for j:=1 to v do
19        if j>=A[i]
20          then D[i,j]:=bigger(D[i-1,j],D[i-1,j-A[i]]+A[i])
21          else D[i,j]:=D[i-1,j];
22    writeln(v-D[n,v]);
23 End.