开锁魔法II 哈尔滨理工大学第五届ACM程序设计竞赛

规律：a[i][j]=     1/i * a[i-1][j-1]      +      (i-1)/i * a[i-1][j]; 

(少一个盒子时使用j-1 次魔法的概率)   (少一个盒子时使用j次魔法的概率)

公式推导如下：

设a[i][j]为打开i个盒子正好需要j次魔法的情况。

①

1->1

②

1->1 , 2->2;        两次

1->2 , 2->1;        一次

③

1->1 , 2->2 , 3->3;     三次

1->2 , 2->1 , 3->3;     两次         3->3(n->n) 的这种情况单独考虑(因为必需要使用一次魔法)   含有(n->n)的情况发生的概率为1/n,

所以 比如a[3][2] = 1/n *a[2][1] (2个盒子时使用1次魔法的情况 <加上当前这次正好使用2次魔法>)    +    ....(先不考虑)

1->3 , 2->1 , 3->2;     一次

1->1 , 2->3 , 3->2;     两次      仔细观察会发现当3->2时 其中的 1次2次 和①中的 1次2次 相同    3->1也是如此.

1->3 , 2->2 , 3->1;     两次      上式的....就是这种情况，而这种不含有n->n的概率会是 (n-1)/n   所以为  (n-1)/n * a[i-1][j] (少一个盒子时使用j次魔法的概率)

1->2 , 2->3 , 3->1;     一次

#include <cstdio>
using namespace std;

double a[5001][5001];   //当时不知道能开辣么大 ~~~~(>_<)~~~~ 

int main()
{
    int n, k;
    double ans;

    for(int i=1; i<=5000; i++)  a[i][1]=1.0/i;
    for(int i=2; i<=5000; i++){
        for(int j=2; j<=i; j++){
            if(i==j)    a[i][j] = a[i-1][j-1]*1.0/i;
            else        a[i][j] = 1.0/i*a[i-1][j-1]+(i-1)*1.0/i*a[i-1][j];
        }
    }
    while( scanf("%d%d", &n, &k)!=-1 ){
        ans = 0.0;
        for(int i=1; i<=k; i++)
            ans += a[n][i];
        printf("%.4f\n", ans);
    }

    return 0;
}

开锁魔法II

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Description

一日，崔克茜来到小马镇表演魔法。

其中有一个节目是开锁咒：舞台上有 n 个盒子，每个盒子中有一把钥匙，对于每个盒子而言有且仅有一把钥匙能打开它。崔克茜可以通过魔法，暴力打开一个盒子。但是崔克茜最多只可以使用 k 次魔法，问在 k 次魔法内，打开所有盒子的概率是多少。

Input

多组测试数据。

每组数据第一行有一个整数 n 和一个整数 k。(1 <= k <= n?<= 5000)

Output

对于每组数据，输出一行表示对应的答案。结果保留四位小数。

Sample Input

3 1

3 2

3 3

10 3

Sample Output

0.3333

0.8333

1.0000

0.7061

Source

哈尔滨理工大学第五届ACM程序设计竞赛