本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html
第十五课时：子空间投影
教授说要让这讲名垂青史，想必此讲是重中之重吧。讲投影。怎样投影，为什么要投影到其他子空间。
从一个简单例子看：
向量b到向量a的最短距离，b在a上的投影是p，a垂直于e，e就像误差e=b-p，p是a的某个倍数x，p=xa，它在a的一维子空间里，可得到一个方程，求解x，方程为：aT（b - xa) = 0。
假设b变成原来的两倍，那么投影p也变成原来的两倍，如果a变为原来的2倍，p则不变。
投影矩阵Projections：投影是由(投影)矩阵完成的，投影就是某个矩阵P（大写），作用在b上面，使我们得到了投影p。有p=Pb。那么投影矩阵为：
上图P等式右边aTa是一个常数，aaT是一个n×n的矩阵（如果a是n维）。
问题（性质）1：以上例子中投影矩阵P的列空间和秩是怎样的？
可以看到投影矩阵乘以任何向量b后仍旧在其列空间，因此投影矩阵的列空间C(P)是通过a的一条线，所以这个矩阵的秩是1，秩1矩阵（上讲中有结论ATA的秩等于A的秩），向量a就是列空间的基。
问题（性质）2：投影矩阵P是对称的PT=P
问题（性质）3：做两次投影会怎样？P平方的性质。投影两次，第二次的结果和第一次一样，P2=P
为什么要做投影？why project
因为Ax=b也许会无解，可能等式太多，造成无解，那么只能求解最接近的那个可能问题。Ax总在A的列空间里，那么如果将b微调，将b变为列空间中最接近它自己的那一个，将问题换做求解Ax‘=p （x‘不是原来那个不存在的x，而是那个最接近解的x‘，即最优解），p是b在列空间上的投影（列空间内最合适的右侧向量）。这就是要找最好的那个投影的原因。
看一个三维平面的例子，要将向量b投影在平面上得到投影向量p。得到一个使b投影到平面上最近点的公式。已知两个线性无关的向量a1,a2可生成平面，那么可以把这个生成的平面空间看成是矩阵的列向量，那么矩阵A=[a1 a2]，误差e向量e=b-p，e是垂直于平面的。
因为p在列空间内，可得到投影p=x1‘a1+x2‘a2=Ax‘ （x‘是x1‘与x2‘组成的向量）
现在要求解x‘，寻找合适的线性组合，好让误差向量垂直于这个平面，关键在e=b-Ax‘。由于误差e正交于列空间，所以可得到两个方程：
这两个方程表示成一个，可得到矩阵表示形式如下
它与直线上的投影方程很相似，对于直线来说，矩阵A只有一列，就是一个小写的a，本质都是 ATe = 0 。
问题1：误差向量e（也就是b-Ax‘）在哪个子空间里，既然有 ATe = 0 ，那么e位于A转置的零空间（左零空间），误差e与列空间正交，误差e垂直于A的列空间。
继续上述方程可转换成：
那么x‘是什么？投影p是什么？投影矩阵P是什么？（注意可以与一维情况下得到的公式相比较）
我们是否可以把投影矩阵P等式右边部分做一下化简，如下：
注意：因为A并不是方阵，所以如上化简是不允许的，A的逆不存在。只有A为可逆方阵时，才允许这样做。我们遇到的矩阵一般都是长方矩阵，行数远大于列数。如果A是一个n×n可逆方阵，它的列空间则是整个n维空间，左零空间只有零向量了，如果b投影到整个n维空间，不只投影到平面，比如投影到三维空间，b本身属于三维空间，此时投影矩阵就是单位阵P=I。但如果投影到子空间（比如上面的例子就是3维空间中的向量b投影到三维空间中的子空间——列空间里），则不允许这样做。
投影矩阵的性质保持不变：
1）PT=P
2）P2=P
对于第（2）点可以做如下验证：
运用：当遇到太多方程，要求它的最优解，常见例子通过最小二乘法拟合一条直线。如下，横坐标是时间t，纵坐标是位置b，已知3点，现在要找到一条最优的直线来拟合这些点，误差最小。我们要确定C和D的大小，来得到b=C+Dt方程。
由三个点可得到方程：
这个方程无解，因为这三个点不共线，但我们可以解出最优解，这个最优解不是原方程的解，是最接近的解。
但可通过如下变换后方程就有解了。
这是最小二乘法的核心方程，虽然Ax=b无解，但如果两倍同时乘以A转置，就得到一个有解的方程，就能求出最优解，最理想的投影以及投影矩阵。