概率基础

概率

定义

假设随机试验E的空间样本为S，如果对于每一个S中的事件A都有一个实数P(A)与之对应，且满足以下3条公理，则称实数P(A)为事件A的概率。

公理1

P(A)≥0

公理2

P(S)=1

公理3 若事件A1、A2、A3、...、An...互不相容，则

P(A1+A2+A3+...+An+...)

=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...+P(An)+...

由以上3条公理可得出如下3条推论：

推论1

P(Ø)=0

推论2 
若事件A1、A2、A3、...、An互不相容，则

P(A1+A2+A3+...+An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...+P(An)

推论3

0≤P(A)≤1

注意推论2与公理3的不同，把公理3从无穷推广到有穷。

条件概率

定义

设A和B为任意两个事件，且有P(B)>0,则称P(AB)P(B)为事件A在事件B发生条件下的条件概率

P(A|B)=P(AB)P(B)

定理

定理1(满足公理)

条件概率满足概率的3个公理：

1. P(A|B)=P(AB)P(B)≥0
2. P(S|B)=P(SB)P(B)=P(B)P(B)=1
3. 若A1、A2、...、An...互不相容，则A1B、A2B、...、AnB、...也互不相容，所以有

   P((A1+A2+...+An+...)|B)

   =P(A1B+A2B+...+AnB+...)P(B)

   =P(A1|B)+P(A1|B)+...+P(An|B)+...

定理2(乘法定理)

P(A)P(B|A)=P(AB)=P(B)P(A|B)

定理3（乘法定理推广）

假设A1、A2、A3...An为n个事件，并且P(A1A2A3...An−1)>0,则有

P(A1A2A3...An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2A3...An−1)