1.1连续时间和离散时间信号
连续时间信号$x(t)$.
离散时间信号$x[n]$.
在$t_{1} \leq t \leq t_{2}$内的总能量对于一个连续时间信号$x(t)$定义为$\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left | x(t) \right |^{2}dt$.
其中$\left | x(t) \right |$记为$x$(可能为复数)的模.
将其除以区间长度$t_{2}-t_{1}$就得到在该区间内的平均功率.
在$n_{1} \leq n \leq n_{2}$内的总能量对于一个连续时间信号$x[n]$定义为$\sum_{n=n_{1}}^{n_{2}}\left | x[n] \right |^{2}$.
将其除以区间内的点数$n_{2}-n_{1}+1$就得到在该区间内的平均功率.
在无穷区间内的功率和能量
在连续时间情况下$E_{\infty }\triangleq \lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T}^{T}\left | x(t) \right |^2dt = \int_{-\infty}^{\infty }\left | x(t) \right |^2dt$.
在离散时间情况下$E_{\infty }\triangleq \lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=-N }^{+N}\left | x[n] \right |^2 = \sum_{N=-\infty }^{+\infty }\left | x[n] \right |^2$.
无穷区间内的平均功率
连续时间情况下$P_{\infty }\triangleq \lim_{T\rightarrow \infty } \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\left | x(t) \right |^2dt$.
离散时间情况下的$P_{\infty }\triangleq \lim_{N\rightarrow \infty }\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N }^{+N}\left | x[n] \right |^2$.
1)信号具有有限总能量$E_{\infty }< \infty $,平均功率必须为零$P_{\infty }=0$.
2)平均功率有限$P_{\infty }> 0$,就必然有$E_{\infty }=\infty $.
3)$P_{\infty }$和$E_{\infty }$都不是有限的.
1.2自变量的变换
时移 time shift
时间反转 time reversal
时间尺度变换 tmie scaling
$x(\alpha t+\beta )$
周期信号
周期 periodic
$x(t)=x(x+mT)$
$x[n]=x[n+mN]$
基波周期:使上式成立的最小正值$T_{0}$ fundamental period
非周期 aperiodic
偶(even)信号
$x(-t)=x(t)$
$x[-n]=x[n]$
奇(odd)信号
$x(-t)=-x(t)$
$x[-n]=-x[n]$
任何信号都能分解为一个偶信号与一个奇信号之和
$Ev\left \{ x(t) \right \}=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)]$
$Od\left \{ x(t) \right \}=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)]$
$Ev\left \{ x(t) \right \}$和$Od\left \{ x(t) \right \}$分别称为$x(t)$的偶部(even part)和奇部(odd part).