UVA 11651

题目链接：https://cn.vjudge.net/problem/UVA-11651

解题思路：

　　思路来源于网络。

　　DP + 矩阵快速幂。

　　设 dp[i][j] 为满足 score 为 i 且最后一位为 j 的数字的个数。则不难推出其状态转移方程：dp[i][j] = Sum( dp[i-d][k] ) { 其中d=(j-k)*(j-k), i!=k }。

　　因为 score 最高可到 1e9，一是开不出那么大的数组，二是会超时，所以我们需要再加上矩阵快速幂优化。

　　1、对于一个 dp[i][j]，只有 i > score >= max(i - (base-1)² ,0) 的这一部分有可能对其结果产生影响；

　　2、这个dp是有周期性，对于score而言，其周期为(base-1)² {也就是说，假如 dp[i][j] = dp[i-k1][b1] + dp[i-k2][b2] + dp[i-k3][b3]，那么对于任意ib = i + k*(base-1)² （k为任意整数），dp[ib][j] = dp[ib-k1][b1] + dp[ib-k2][b2] + dp[ib-k3][b3]） }。

　　由于有上述两个性质，故可以用矩阵快速幂优化。

　　额，感觉讲的不太好。。。在下尽力了。。。下面引用一位大神（http://www.cnblogs.com/AOQNRMGYXLMV/p/5256508.html）的一张图片。。。其实思路也是引用的（逃

　　当base=3时，有如下转移：（注意，其中倒数第三行有一个错误。至于哪里错了，就留给读者自己发现吧。）

AC代码：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3
 4 using namespace std;
 5 typedef unsigned int ui;    //这里要是不用 unsigned int 的话就会报段错误。
 6 const int maxn=150;
 7 ui dp[25][6];
 8 struct Matrix {
 9    ui mat[maxn][maxn];
10 };
11 Matrix Multiply(Matrix x,Matrix y,int n){
12     Matrix tmp;
13     for(int i=0;i<maxn;i++){
14         for(int j=0;j<maxn;j++) tmp.mat[i][j]=0;
15     }
16     for(int i=0;i<n;i++){
17         for(int j=0;j<n;j++){
18             for(int k=0;k<n;k++){
19                 tmp.mat[i][j]+=x.mat[i][k]*y.mat[k][j];
20             }
21         }
22     }
23     return tmp;
24 }
25 Matrix Fast_Power(Matrix a,int m,int n){
26     Matrix res;
27     for(int i=0;i<maxn;i++){
28         for(int j=0;j<maxn;j++) res.mat[i][j]=0;
29     }
30     for(int i=0;i<n;i++)    res.mat[i][i]=1;
31     while(m){
32         if(m&1) res=Multiply(res,a,n);
33         m>>=1;
34         a=Multiply(a,a,n);
35     }
36     return res;
37 }
38 int main(){
39     int T,base,sc;
40     Matrix temp,Right;
41     scanf("%d",&T);
42     for(int t=1;t<=T;t++){
43         scanf("%d%d",&base,&sc);
44         printf("Case %d: ",t);
45         memset(dp,0,sizeof(dp));
46         memset(Right.mat,0,sizeof(Right.mat));
47         memset(temp.mat,0,sizeof(temp.mat));
48         int ind=1;
49         dp[0][0]=0;                 //注意：dp[0][0] = 0, dp[0][i] = 1 (i>0)
50         Right.mat[0][0]=0;
51         for(int i=1;i<base;i++){
52             dp[0][i]=1;
53             Right.mat[ind][0]=dp[0][i];
54             ind++;
55         }
56
57         for(int i=1;i<(base-1)*(base-1);i++){
58             for(int j=0;j<base;j++){
59                 for(int k=0;k<i;k++){
60                     for(int z=0;z<base;z++){
61                         if(z!=j&&i-k==(z-j)*(z-j))  dp[i][j]+=dp[k][z];
62                     }
63                 }
64                 Right.mat[ind][0]=dp[i][j];
65                 ind++;
66             }
67         }
68         ui cnt=0;
69         for(int i=0;i+base<(base-1)*(base-1)*base;i++)
70             temp.mat[i][i+base]=1;
71         for(int i=0;i<base;i++){
72             for(int j=0;j<(base-1)*(base-1);j++){
73                 for(int k=0;k<base;k++){
74                     if(k!=i&&(base-1)*(base-1)-j==(i-k)*(i-k))    temp.mat[base*((base-1)*(base-1)-1)+i][j*base+k]=1;
75                 }
76             }
77         }
78         temp=Fast_Power(temp,sc,(base-1)*(base-1)*base);
79         Matrix ans=Multiply(temp,Right,(base-1)*(base-1)*base);
80         for(int i=0;i<base;i++)    cnt=cnt+ans.mat[i][0];
81         printf("%u\n",cnt);
82
83     }
84     return 0;
85 }