素数求解方法及其优化

题目：

请实现一个函数，对于给定的整型参数N，依次打印出小于N的素数。

解法一：试除法

由素数的定义我们很自然的会想到如下代码：

#include <stdio.h>

void print_prime(int n)
{
	int i=0;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		int j=0;
		for(j=2;j<i;j++)
		{
			if(0==i%j)
				break;
		}
		if(j==i)
			printf("%d\t",i);
	}
}

int main()
{
	int num=0;
	scanf("%d",&num);
	print_prime(num);
	return 0;
}

在上面的代码中，我们看到在判断素数时一直从2试除到n－1。这里从n／2之后的数到n－1的试除显然是多余的，比如某个数不能被3整除，必然不能被6整除。

优化1:

试除的范围优化到［2，n／2］，这样一下子就将工作量减少了一半，代码如下：

void print_prime(int n)
{
	int i=0;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
	        int j=0;
		for(j=2;j<=i/2;j++) //修改部分
		{
			if(0==i%j)
				break;
		}
		if(j==(i/2+1))  //修改部分
			printf("%d\t",i);
	}
}

既然能将试除范围优化到［2，n/2］，那么这个范围是不是还能优化呢？答案是可以的，在［2，n/2］这个范围里（√n，n／2］的试除也是多余的。因为因数是成对出现的，比如16可分解为：1和16 、2和8、4和4、8和2、16和1。这些因数里必然有一个小于等于4。所以只需试除小于等于√n的数就可以了。

优化2:

试除范围优化为［2，√n］，代码如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

void print_prime(int n)
{
	int i = 0;
	for (i = 2; i <= n; i++)
	{
		int j = 0;
		for (j = 2; j <= sqrt(i); j++) //修改部分
		{
			if (0 == i%j)
				break;
		}
		if (j >sqrt(i))         //修改部分
			printf("%d\t", i);
	}
}

int main()
{
	int num = 0;
	scanf("%d", &num);
	print_prime(num);
	return 0;
}

上面所有的代码在找素数的时候是从2到n，在这个范围内除了2之外的偶数都不是素数，所以我们可以跳过这些偶数。

优化3

寻找素数时跳过偶数，这样工作量就少了一半。代码如下：

void print_prime(int n)
{
	int i = 0;
	if (n >= 2)
		printf("%d\t", 2);
	for (i = 3; i <= n; i+=2)
	{
		int j = 0;
		for (j = 2; j <= sqrt(i); j++)
		{
			if (0 == i%j)
				break;
		}
		if (j >sqrt(i))
			printf("%d\t", i);
	}
}