UVa10900 - So you want to be a 2n-aire? (期望)

我们不妨设a[i]表示正确做完第i道题的收益的期望，显然我们最后要求的就是a[0]咯，但这个先放一放，我们先讨论一下在做第i+1个题目前我们是选择答题呢还是选择放弃呢。

首先，我们可以直观的想到，如果做完i题就退出的话，就可以得到2^i这么多钱。不妨假设答对第i+1个题的概率为p，那么我们自然会想到用p乘以“某个值”表示答题所获得的收益的期望，如果p乘以这个值大于2^i的话，我们肯定会选择答题咯，因为若是这样答题的话收益的期望是大于不答题的。那么现在问题就来了，这个“某个值”是什么呢？可能的最大值？可能的最小值？还是平均值（或者说是期望）？

如果做个比喻的话，选最大值的就是冒险狂，选最小值的就是胆小鬼，选平均值的就是接受过良好高等教育的ACMer，一开始我就成了冒险狂……

后来想想，也确实只有平均值在统计里面才比较有说服力，因此题目中所谓的plays the best strategy就是按我们上面所说的去决策每次究竟是答题还是不答题。上面我们只是对于p是固定值来讨论的，如果我们对p是任意的去讨论的话，显然不答题的平均收益是不变的，因为它和p没关系，仍是2^i，如果答题的话平均收益就应该是(ep+1)/2*a[i+1]，ep就是我们前面讨论的“分水岭”，用表达式写出来就是ep=2^i/a[i+1]，当p>ep，那么p*a[i+1]>2^i，也就是说如果答对这个题我就可以获得a[i+1]这么多钱，再乘答对的概率p就是答第i+1题的收益的期望，如果这个期望大于2^i，那么就会选择答题。当然题目中让算的是总收益，我们再各自乘以答题与否这些情况出现的概率即可，即a[i]=(ep-t)/(1-t)*2^i+(t-ep)/(1-t)*(ep+1)/2*a[i+1]，这个式子值列出了ep>t的情况，对于ep<=t的情况，也可以类似写出表达式。

现在我们就发现了，计算a[i]是需要用到a[i+1]的，那我们怎么办？倒着算呗。那么a[N]是多少？显然是2^N，因为答对第N个题之后收益的期望自然就是最大的收益。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#define MAXD 35
int N;
double T,q[MAXD];
void solve(){
    int i,j,k;
    double eq,f=1,quit;
    f=q[N];
    for(i=N-1;i>=0;i--){
        quit=q[i];
        eq=quit/f;
        if(eq<=T)
            f=(T+1)/2*f;
        else
            f=(eq-T)/(1-T)*quit+(1-eq)/(1-T)*(eq+1)/2*f;
    }
    printf("%.3lf\n",f);
}
int main()
{
    q[0]=1;
    for(int i=1;i<=30;i++)
        q[i]=2*q[i-1];
    for(;;){

        scanf("%d%lf",&N,&T);
        if(!N)
            break;
        if(fabs(1-T)<1e-9)
            printf("%.3lf\n",q[N]);
        else
            solve();
    }
    return 0;
}