三向切分的快速排序

快速排序在实际应用中会面对大量具有重复元素的数组。例如加入一个子数组全部为重复元素，则对于此数组排序就可以停止，但快排算法依然将其切分为更小的数组。这种情况下快排的性能尚可，但存在着巨大的改进潜力。（从O(nlgn)提升到O(n)）

一个简单的想法就是将数组分为三部分：小于当前切分元素的部分，等于当前切分元素的部分，大于当前切分元素的部分。

E.W.Dijlstra（对，就是Dijkstra最短路径算法的发明者）曾经提出一个与之相关的荷兰国旗问题（一个数组中有分别代表红白蓝三个颜色的三个主键值，将三个主键值排序，就得到了荷兰国旗的颜色排列）。

他提出的算法是： 对于每次切分：从数组的左边到右边遍历一次，维护三个指针，其中lt指针使得元素（arr[0]-arr[lt-1]）的值均小于切分元素；gt指针使得元素（arr[gt+1]-arr[N-1]）的值均大于切分元素；i指针使得元素（arr[lt]-arr[i-1]）的值均等于切分元素，（arr[i]-arr[gt]）的元素还没被扫描，切分算法执行到i>gt为止。每次切分之后，位于gt指针和lt指针之间的元素的位置都已经被排定，不需要再去处理了。之后将（lo,lt-1）,（gt+1,hi）分别作为处理左子数组和右子数组的递归函数的参数传入，递归结束，整个算法也就结束。

三向切分的示意图：

C++代码如下：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 using namespace std;
 4 #define maxn 10000
 5 int a[maxn];
 6
 7 void exchange( int i,int j )
 8 {
 9     int tmp=a[i];
10     a[i]=a[j];
11     a[j]=tmp;
12 }
13
14
15 void qsort3way ( int lo,int hi )
16 {
17     if( lo>=hi ) return;  //单个元素或者没有元素的情况
18     int lt=lo;
19     int i=lo+1;  //第一个元素是切分元素，所以指针i可以从lo+1开始
20     int gt=hi;
21     int v=a[lo];
22     while( i<=gt )
23     {
24         if( a[i]<v )  //小于切分元素的放在lt左边，因此指针lt和指针i整体右移
25             exchange( lt++,i++ );
26         else if ( a[i]>v )  //大于切分元素的放在gt右边，因此指针gt需要左移
27             exchange( i,gt-- );
28         else
29             i++;
30     }
31     //lt-gt的元素已经排定，只需对it左边和gt右边的元素进行递归求解
32     qsort3way( lo,lt-1 );
33     qsort3way( gt+1,hi );
34 }
35
36
37 int main()
38 {
39     int n;
40     cin>>n;
41     for( int i=0; i<n; i++  )
42         cin>>a[i];
43     qsort3way( 0,n-1 );
44     for( int i=0; i<n; i++  )
45         cout<<a[i];
46     cout<<endl;
47     return 0;
48 }

下面是《算法（第四版）》上对算法切分轨迹的一个示例说明：

对于包含大量重复元素的数组，这个算法将排序时间从线性对数级降到了线性级别。