知识点-树链剖分

　　“在一棵树上进行路径的修改、求极值、求和”：乍一看只要线段树就能轻松解决，实际上，仅凭线段树是不能搞定它的。我们需要用到一种貌似高级的复杂算法——树链剖分。

     树链，就是树上的路径。剖分，就是把路径分类为重链和轻链。

　　记siz[v]表示以v为根的子树的节点数，dep[v]表示v的深度(根深度为1)，top[v]表示v所在的链的顶端节点，f[v]表示v的父亲，son[v]表示v的子节点中siz[]最大的节点编号（即重儿子），id[v]表示v的父边在线段树中的位置。只要把这些东西求出来，就能用log（n）的时间完成原问题中的操作。

重儿子：如果siz[u]为v的子节点中siz值最大的，那么u就是v的重儿子。
     轻儿子：v的其它子节点。
     重边：点v与其重儿子的连边。
     轻边：点v与其轻儿子的连边。
     重链：由重边连成的路径。
     轻链：轻边。

算法实现

　　首先用一个dfs函数求出siz，dep，f，son的值。

　　紧接着用一个build函数建树建链并求出id和top的值。对于节点v，如果有son[v]的存在，显然可得top[son[v]]=top[v]。在线段树中，节点的重边应当在节点的父边之后，所以id[son[v]]=++tot；在对重儿子进行深搜之后，枚举所有轻儿子。对于每个轻儿子u，显然有top[u]=u；同时也要id[top[u]]=++tot；

　　当建树建链的步骤完成后，可以根据题意进行相应的操作。

例题

题目描述

一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作：

I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t

II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值

III. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和

注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

输入

输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。

接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有一条边相连。

接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。

接下来1行，为一个整数 q，表示操作的总数。

接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。

输出

对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

样例输入

4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4

样例输出

4
1
2
2
10
6
5
6
5
16

提示

对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

算法操作

　　1.修改操作update：本题只是单点更新，所以只需用普通的线段树修改方法即可。

　　2.求极值以及和问题fmax和fsum：属于同一种类型的题目。

　　首先记fu=top[u]，fv=top[v]。

　　若fu!=fv，即它们不处于同一条重链上，则不妨设dep[u]>=dep[v]，此时u的深度比v的要大。更新u到fu父边的答案后，使u=f[fu]，即将u类似LCA一样向上“跳”。

　　若fu=fv，则它们处于同一条重链上。若u!=v，则继续更新答案，否则得到答案。

代码

  1 #include<cstring>
  2 #include<cmath>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<cstdio>
  5 #define mid ((L+R)>>1)
  6 #define ls (node<<1)
  7 #define rs ls+1
  8 using namespace std;
  9 struct edge{
 10     int to,nxt;
 11 }edge[60001];
 12 int cnt,n,tot;
 13 int tsum[300001],tmax[300001],dep[30001],id[30001],head[30001],f[30001],son[30001],siz[30001],top[30001];
 14 char ord[20];
 15 void add(int u,int v)//链式前向星
 16 {
 17     edge[++cnt].to=v;
 18     edge[cnt].nxt=head[u];
 19     head[u]=cnt;
 20 }
 21 void dfs(int node,int father,int deep)
 22 {
 23     f[node]=father;dep[node]=deep;siz[node]=1;
 24     for(int i=head[node];i;i=edge[i].nxt)
 25     {
 26         int to=edge[i].to;
 27         if(to==father)continue;
 28         dfs(to,node,deep+1);
 29         siz[node]+=siz[to];
 30         if(siz[to]>siz[son[node]])son[node]=to;
 31     }
 32 }
 33 void build(int node,int num)//建树建链
 34 {
 35     id[node]=++tot;
 36     top[node]=num;
 37     if(son[node])build(son[node],num);
 38     for(int i=head[node];i;i=edge[i].nxt)
 39     {
 40         int to=edge[i].to;
 41         if(to!=son[node]&&to!=f[node])build(to,to);
 42     }
 43 }
 44 void update(int node,int L,int R,int u,int w)//更新节点
 45 {
 46     if(u>R||u<L)return;
 47     if(L==R)
 48     {
 49         tsum[node]=tmax[node]=w;
 50         return;
 51     }
 52     update(ls,L,mid,u,w);
 53     update(rs,mid+1,R,u,w);
 54     tmax[node]=max(tmax[ls],tmax[rs]);
 55     tsum[node]=tsum[ls]+tsum[rs];
 56 }
 57 int qmax(int node,int L,int R,int l,int r)
 58 {
 59     if(l>R||r<L)return -10000000;
 60     if(l<=L&&R<=r)return tmax[node];
 61     int ans=max(qmax(ls,L,mid,l,r),qmax(rs,mid+1,R,l,r));
 62     return ans;
 63 }
 64 int qsum(int node,int L,int R,int l,int r)
 65 {
 66     if(l>R||r<L)return 0;
 67     if(l<=L&&R<=r)return tsum[node];
 68     int ans=qsum(ls,L,mid,l,r)+qsum(rs,mid+1,R,l,r);
 69     return ans;
 70 }
 71 int fmax(int u,int v)
 72 {
 73     int ans=-10000000;
 74     while(top[u]!=top[v])
 75     {
 76         if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
 77         ans=max(ans,qmax(1,1,tot,id[top[u]],id[u]));
 78         u=f[top[u]];
 79     }
 80     if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
 81     ans=max(ans,qmax(1,1,tot,id[u],id[v]));
 82     return ans;
 83 }
 84 int fsum(int u,int v)
 85 {
 86     int ans=0;
 87     while(top[u]!=top[v])
 88     {
 89         if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);
 90         ans+=qsum(1,1,tot,id[top[u]],id[u]);
 91         u=f[top[u]];
 92     }
 93     if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
 94     ans+=qsum(1,1,tot,id[u],id[v]);
 95     return ans;
 96 }
 97 int main()
 98 {
 99     int a,b,w,u,v,q;
100     scanf("%d",&n);
101     for(int i=1;i<n;i++)
102     {
103         scanf("%d%d",&a,&b);
104         add(b,a);add(a,b);
105     }
106     dfs(1,0,1);
107     build(1,1);
108     for(int i=1;i<=n;i++)
109     {
110         scanf("%d",&w);
111         update(1,1,tot,id[i],w);
112     }
113     scanf("%d",&q);
114     while(q--)
115     {
116         scanf("%s%d%d",ord,&u,&v);
117         if(ord[0]==‘C‘)update(1,1,tot,id[u],v);
118         else
119         {
120             if(ord[1]==‘M‘)printf("%d\n",fmax(u,v));
121             else printf("%d\n",fsum(u,v));
122         }
123     }
124     return 0;
125 }