DP/四边形不等式
做过POJ 1739 邮局那道题后就很容易写出动规方程：
dp[i][j]=min{dp[i-1][k]+w[k+1][j]}（表示前 j 个点分成 i 块的最小代价）
$w(l,r)=\sum_{i=l}^{r}\sum_{j=i+1}^{r}a[i]*a[j]$
那么就有 $w(l,r+1)=w(l,r)+a[j]*\sum\limits_{i=l}^{r}a[i]$
所以：w[i][j]明显满足 关于区间包含的单调性
然后我们大胆猜想，小(bu)心(yong)证明，w[i][j]满足四边形不等式，所以这题就跟邮局那题一样了……
咳咳好吧作为一个有节操的人，我还是尝试着证明了一下（结果发现用来证明的时间比我写代码的时间要长……）
先把w(i,j)的定义搬下来：\[ w(l,r)=\sum\limits_{i=l}^{r}\sum\limits_{j=i+1}^{r}a[i]*a[j] \]
形象一点来说就是：
对于$ i\leq i‘ < j \leq j‘ $
中间的都是要算两次，剩下的部分：
(左)表示w(i,i‘-1)，[左]表示 $\sum_{k=i}^{i‘-1}a[k] $
(中)表示w(i‘,j)，[中]表示 $\sum_{k=i‘}^j a[k] $
(右)表示w(j+1,j‘)，[右]表示 $\sum_{k=j+1}^{j‘} a[k] $
\[ w(i,j)+w(i‘,j‘)=(左)+[左]*[中]+(右)+[右]*[中] \\ w(i,j‘)+w(i‘,j)=(左+右)+[左+右]*[中] \]
其中\[ [左+右]*[中]=[左]*[中]+[右]*[中] \]
但\[ (左+右)=(左)+(右)+[左]*[右] \]
所以\[ (左+右)>(左)+(右) \]
所以\[w(i,j)+w(i‘,j‘) \leq w(i,j‘)+w(i‘,j) \]
1 //HDOJ 2829
2 #include<cmath>
3 #include<vector>
4 #include<cstdio>
5 #include<cstring>
6 #include<cstdlib>
7 #include<iostream>
8 #include<algorithm>
9 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
10 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
11 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
12 #define pb push_back
13 #define CC(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
14 using namespace std;
15 int getint(){
16 int v=0,sign=1; char ch=getchar();
17 while(!isdigit(ch)) {if(ch==‘-‘) sign=-1; ch=getchar();}
18 while(isdigit(ch)) {v=v*10+ch-‘0‘; ch=getchar();}
19 return v*sign;
20 }
21 const int N=1010,INF=~0u>>2;
22 const double eps=1e-8;
23 #define debug
24 /*******************template********************/
25 int dp[N][N],s[N][N],w[N][N],b[N],a[N],n,m;
26
27 int main(){
28 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF && n){
29 m++;
30 F(i,1,n) a[i]=getint();
31 F(i,1,n){
32 b[i]=a[i];
33 w[i][i]=0;
34 F(j,i+1,n){
35 w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]*b[i];
36 b[i]+=a[j];
37 }
38 }
39 F(i,1,n) F(j,1,m) dp[j][i]=INF;
40 F(i,1,n){
41 dp[1][i]=w[1][i];
42 s[1][i]=0;
43 }
44 F(i,2,m){
45 s[i][n+1]=n;
46 D(j,n,i)
47 F(k,s[i-1][j],s[i][j+1])
48 if(dp[i-1][k]+w[k+1][j]<dp[i][j]){
49 s[i][j]=k;
50 dp[i][j]=dp[i-1][k]+w[k+1][j];
51 }
52 }
53 printf("%d\n",dp[m][n]);
54 }
55 return 0;
56 }