Convolutional Neural Network 卷积神经网络是基于人工神经网络提出的。人工神经网络模拟人的神经系统，由一定数量的神经元构成。在一个监督学习问题中，有一组训练数据(xi,yi)，x是样本，y是label，把它们输入人工神经网络，会得到一个非线性的分类超平面hw,b(x)，在这篇笔记中先梳理一下传统人工神经网络的基本概念，再基于传统人工神经网络简单介绍卷积神经网络。
1，神经元neuron
一个神经元是神经网络中的一个运算单元，它实质上就是一个函数。下图是一个神经元的示意图：
有3个输入x1,x2,x3，+1是一个偏置值(bias)，输出hw,b(x)=f(wTx)=f(∑3i=1wixi+b)，f是激活函数(activation function)，这里的激活函数用的是sigmoid函数：
f(z)=11+exp(?z).
sigmoid函数图像如图：
激活函数是以0.5为分界，让大值更逼近1，小值更逼近0，因为人的神经元就是有分“激活”和“不激活”两种状态，刺激达到一定程度，就被激活，传播信号，达不到就不激活，不传播信号，人工神经网络中激活函数的设计，应该是为了模拟这个过程。
2，人工神经网络Neural Network
人工神经网络就是由多个上述的神经元组合成的，下图是一个小型的人工神经网络的示意图：
有3个输入单元，这个输入单元的个数一般由样本向量的维度决定，比如输入的样本是sift特征点，那么就有128个输入单元。+1是偏置，a(l)i是指第l层的激活函数。这个神经网络的参数是(W(1),b(2),W(2),b(2))，其中W(1)是指第1层到第2层之间的连接的权值，是一个矩阵，b(1)是指它们之间的连接偏置，是一个向量。W(l)i,j指的是第l层的unit j和第l+1层的unit i之间的连接的权值，它是一个数值，b(l)i是连接到第l+1层unit i的偏置，所有连接unit i的连接都使用这同一个偏置值，在图中连接到第2层的三个unit的偏置值都是+1。在图中，L1是输入层(input layer)，L2是隐层(hidden layer)，因为这一层每个unit的值是无法观测到的，L3是输出层(output layer)。
当然输出层也可以有多个unit，如下图，在label y是向量的情况下，这个unit个数一般和y的维度一致。
3，卷积神经网络
卷积神经网络中，输入就是一幅幅的图像，权值W就是卷积模板，一般是卷积层和下采样层交替，最后是全连接的神经网络，也就是上述经典的人工神经网络。如下是一个简单的卷积神经网络示意图：
C是卷积层，S是下采样层。输入的一幅图像，在C1层，通过和3个卷积模板做卷积运算，然后加上偏置值，再经过sigmoid激活函数，得到3幅输出图像，在S2层，对C1层输出的3幅图像做下采样，假设采样因子是2，也就是图中每2*2的patch中的4个像素进行求和，再加偏置，再通过激活函数，得到3张尺寸减小了的输出图像。同样的，再经过C3,S4。将S4的输出拉成一个向量，输入传统的神经网络中，并得到输出。
如下图是有人对卷积神经网络每一层输出的特征图像做的可视化：
可以看到，第1层输出的特征图像还是很简单的形状和颜色信息，随着层数增多，到第3层的输出特征图，已经包含了相当复杂的丰富的细节信息，能够初步辨别目标了。
4，感受野(receptive field)和权值共享
除了增加卷积层和采样层，在传统人工神经网络的基础上，卷积神经网络还通过感受野和权值共享大大地减少了参数，降低了训练难度，也避免了参数过多引起过拟合(overfitting)。
卷积神经网络的输入是一幅幅的图像，根据传统的人工神经网络，在第2层的每个unit都要和输入层图像的每个像素连接，这里我们假设第2层有1M个hidden units，输入图像大小1000*1000，那么这一层要训练的权值w就是1M *1000*1000=10^12个，如下图左：
而人们发现人是通过一个局部的感受野去感受图像的，且图像的空间联系是局部的，每一个神经元并不需要对全局图像感受，每个神经元只用感受局部的图像区域，然后在更高层将这些神经元的信息综合起来得到全局信息。这样，我们就可以减少连接数目了，假设感受野是10*10大小，那么第2层的每个unit只用和一个10*10的感受野连接，这样的感受野有100*100个，那么这一层要训练的权值w是1M*10*10=10^8个，如上图右。可以看到，通过感受野，隐层的权值个数已经从10^12降到了10^8个，每个hidden unit有10*10=100个参数。
人们认为对于不同的感受野区域，要提取的特征是相似的，比如边缘，颜色变化等等，这样，我们可以在不同的感受野用同样的方式去感受特征，也就是说，用一个卷积核去卷积全部的感受野。这就是权值共享，就是让这1M个hidden units共享同一组参数(100个权值)，那么隐层权值个数就降到了100个。下图左中的红色，黑色，绿色，蓝色的感受野区域使用相同的参数来做卷积。
如果一种卷积核(也就是滤波器)可以提取图像的某一方面的特征，那么我们在这里使用100种卷积核，每个卷积核的参数都不一样，提取出来的特征也就不一样，这样，就可以输出100种特征图。上图右是红色和黑色两种卷积核，在卷积层会输出2中特征图。
Reference
http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Neural_Networks
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8781543
《Visualizing and Understanding Convolutional Networks》
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