洛谷1114 “非常男女”计划
本题地址:http://www.luogu.org/problem/show?pid=1114
题目描述
近来,初一年的XXX小朋友致力于研究班上同学的配对问题(别想太多,仅是舞伴),通过各种推理和实验,他掌握了大量的实战经验。例如,据他观察,身高相近的人似乎比较合得来。
万圣节来临之际,XXX准备在学校策划一次大型的“非常男女”配对活动。对于这次活动的参与者,XXX有自己独特的选择方式。他希望能选择男女人数相等且身高都很接近的一些人。这种选择方式实现起来很简单。他让学校的所有人按照身高排成一排,然后从中选出连续的若干个人,使得这些人中男女人数相等。为了使活动更热闹,XXX当然希望他能选出的人越多越好。请编写程序告诉他,他最多可以选出多少人来。
输入输出格式
输入格式:
第一行有一个正整数n,代表学校的人数。n<=100000
第二行有n个用空格隔开的数,这些数只能是0或1,其中,0代表一个女生,1代表一个男生
输出格式:
输出一个非负整数。这个数表示在输入数据中最长的一段男女人数相等的子序列长度。
如果不存在男女人数相等的子序列,请输出0。
输入输出样例
输入样例#1:
9 0 1 0 0 0 1 1 0 0
输出样例#1:
6 思路分析:
(1) 最简单的想法就是遍历所有的子串,之后判断该子串是否满足条件。(就像寻找最大子序列一样。)有 N^2子串,每个子串扫一遍判断0、1是否出现的次数相等,复杂度为O(N^3)。
进一步思考就会发现, 如果一个长度为n的子串满足条件,加么这n个元素的和 加起来一定=(n/2),这样在循环的过程中,增量加就可以了,不需要每个子串从头计算,复杂度降为O(N^2)。
(嗯,这个地方的改进其实就是最大子序列和问题当中O(N^2)级别算法的类似改进。)
最大子序列和问题:http://www.cnblogs.com/huashanqingzhu/p/3861238.html
上述解决最大子序列和问题的两个算法:(下面三张图片截取自浙大陈越老师的PPT)
(2)为了进一步降低算法的时间复杂度,引入相对差的概念。即a[i]表示第i个位置男生人数-女生人数的差值。那么差值相等的两个位置之间的人数是满足男女相等的。因此,统计l[a[i]]和r[a[i]]即可。特别要注意的是a[0]=0。统计的时候要把0的位置当做差为0的起点。上述这段话是原题目网站的提示,思考半天,没太理解。(试想:在含有n个元素的整数序列中寻找两个距离最远而且相等的元素,时间复杂度似乎也是平方级别的。)后来看到网络上有人对这个题的类似题目做了一个简单的解析:http://www.cnblogs.com/worldisimple/archive/2012/04/13/2445051.html摘抄原文部分:
一个01字符串,求出现0、1出现次数相等的最长子串
题目描述:
已知一个长度为N的字符串,只由0和1组成, 求一个最长的子串,要求该子串出0和1出现的次数相等。
要求算法时间复杂度尽可能的低。
比如: 1000010111000001,加粗的部分有4个0、4个1
原文作者对此给出的比较好的解决思路:
定义一个数据B[N], B[i]表示从A[0...i]中 num_of_0 - num_of_1,0的个数与1的个数的差
那么如果A[i] ~ A[j]是符合条件的子串,一定有 B[i] == B[j],因为中间的部分0、1个数相等,相减等于0。 只需要扫一遍A[N]就能把B[N]构造出来了。
这样问题就转换成了求 距离最远的一对数,使得B[i] == B[j],因为B[i]的范围一定是[-N,N],-N到N的范围都存起来,这样每扫到B[i],查数就行了。
1 int A[N],B[N]; 2 int num[2*N + 1]; 3 int count[2] = {0,0}, maxlen = 0, currlen = 0; 4 memset(C, 2*N, -1); 5 for(int i = 0; i < N; ++i) 6 { 7 count[ int(A[i]) ] += 1; 8 B[i] = count[1] - count[0]; 9 if( num[ B[i] + N ] == -1)//尚不存在,B的下标是差,值是A的下标 10 num[ B[i] + N ] = i; 11 else//already exist 12 { 13 currlen = i - num[ B[i] + N ] + 1; //num[ B[i] + N ]是B[i]已存在的下标 14 if(currlen > maxlen) 15 maxlen = currlen; 16 }
对于原文作者伪代码的错误和不严谨,我就不说了。重要的是,看了分析,大概明白了如何用O(n)的时间复杂度完成“在含有n个元素的整数序列中寻找两个距离最远而且相等的元素”这样一个问题。但是,该文章的作者没注意到:统计的时候要把0的位置当做差为0的起点。修改了文章作者的代码,得到如下的AC代码:
1 #include <stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 int main() 4 { 5 int n,t; 6 int *b,*num; 7 int count[2]={0,0};//统计从第一个到第i个位置的子段中,0和1的个数 8 int maxlen=0,currlen=0; 9 int i; 10 scanf("%d",&n); 11 b=(int *)malloc((n+1)*sizeof(int)); 12 num=(int *)malloc((n*2+1)*sizeof(int)); 13 for(i=0;i<=n;i++) 14 b[i]=0; 15 for(i=0;i<=2*n+1;i++) 16 num[i]=-1; 17 18 for(i=1;i<=n;i++) 19 { 20 scanf("%d",&t); //输入一个数字:0或1 21 count[t]++; //统计0和1的个数 22 b[i]=count[0]-count[1];//b[i]保存0-1序列的前i个元素中:0和1的个数之差 23 } 24 if(count[0]==count[1]) printf("%d\n",count[0]+count[1]); 25 else 26 { 27 for(i=0;i<=n;i++)//注意:从0和1的个数都是0的地方开始扫描 28 { 29 if(num[b[i]+n]==-1) 30 num[b[i]+n]=i; 31 else//already exist 32 { 33 currlen = i - num[b[i]+n] ; //num[b[i]+n]是b[i]已存在的下标 34 if(currlen > maxlen) 35 maxlen = currlen; 36 } 37 } 38 printf("%d\n",maxlen); 39 } 40 41 free(b); 42 free(num); 43 return 0; 44 }