[洛谷OJ] P1114 “非常男女”计划

洛谷1114 “非常男女”计划

本题地址:http://www.luogu.org/problem/show?pid=1114

题目描述

  近来,初一年的XXX小朋友致力于研究班上同学的配对问题(别想太多,仅是舞伴),通过各种推理和实验,他掌握了大量的实战经验。例如,据他观察,身高相近的人似乎比较合得来。
  万圣节来临之际,XXX准备在学校策划一次大型的“非常男女”配对活动。对于这次活动的参与者,XXX有自己独特的选择方式。他希望能选择男女人数相等且身高都很接近的一些人。这种选择方式实现起来很简单。他让学校的所有人按照身高排成一排,然后从中选出连续的若干个人,使得这些人中男女人数相等。为了使活动更热闹,XXX当然希望他能选出的人越多越好。请编写程序告诉他,他最多可以选出多少人来。

输入输出格式

输入格式:

  第一行有一个正整数n,代表学校的人数。n<=100000
  第二行有n个用空格隔开的数,这些数只能是0或1,其中,0代表一个女生,1代表一个男生

输出格式:

  输出一个非负整数。这个数表示在输入数据中最长的一段男女人数相等的子序列长度。
  如果不存在男女人数相等的子序列,请输出0。

输入输出样例

输入样例#1:

9
0 1 0 0 0 1 1 0 0

输出样例#1:

6

思路分析:

(1) 最简单的想法就是遍历所有的子串,之后判断该子串是否满足条件。(就像寻找最大子序列一样。)有 N^2子串,每个子串扫一遍判断0、1是否出现的次数相等,复杂度为O(N^3)。

进一步思考就会发现, 如果一个长度为n的子串满足条件,加么这n个元素的和 加起来一定=(n/2),这样在循环的过程中,增量加就可以了,不需要每个子串从头计算,复杂度降为O(N^2)。

(嗯,这个地方的改进其实就是最大子序列和问题当中O(N^2)级别算法的类似改进。)

最大子序列和问题:http://www.cnblogs.com/huashanqingzhu/p/3861238.html

上述解决最大子序列和问题的两个算法:(下面三张图片截取自浙大陈越老师的PPT)

(2)为了进一步降低算法的时间复杂度,引入相对差的概念。即a[i]表示第i个位置男生人数-女生人数的差值。那么差值相等的两个位置之间的人数是满足男女相等的。因此,统计l[a[i]]和r[a[i]]即可。特别要注意的是a[0]=0。统计的时候要把0的位置当做差为0的起点。上述这段话是原题目网站的提示,思考半天,没太理解。(试想:在含有n个元素的整数序列中寻找两个距离最远而且相等的元素,时间复杂度似乎也是平方级别的。)后来看到网络上有人对这个题的类似题目做了一个简单的解析:http://www.cnblogs.com/worldisimple/archive/2012/04/13/2445051.html摘抄原文部分:

一个01字符串,求出现0、1出现次数相等的最长子串

题目描述:

已知一个长度为N的字符串,只由0和1组成, 求一个最长的子串,要求该子串出0和1出现的次数相等。

要求算法时间复杂度尽可能的低。

比如:  1000010111000001,加粗的部分有4个0、4个1

原文作者对此给出的比较好的解决思路:

定义一个数据B[N], B[i]表示从A[0...i]中 num_of_0 - num_of_1,0的个数与1的个数的差

那么如果A[i] ~ A[j]是符合条件的子串,一定有 B[i] == B[j],因为中间的部分0、1个数相等,相减等于0。 只需要扫一遍A[N]就能把B[N]构造出来了。

这样问题就转换成了求 距离最远的一对数,使得B[i] == B[j],因为B[i]的范围一定是[-N,N],-N到N的范围都存起来,这样每扫到B[i],查数就行了。

 1 int A[N],B[N];
 2 int num[2*N + 1];
 3 int count[2] = {0,0}, maxlen = 0, currlen = 0;
 4 memset(C, 2*N, -1);
 5 for(int i = 0; i < N; ++i)
 6 {
 7    count[ int(A[i]) ] += 1;
 8    B[i] = count[1] - count[0];
 9    if( num[ B[i] + N ] == -1)//尚不存在,B的下标是差,值是A的下标
10        num[ B[i] + N ] = i;
11    else//already exist
12    {
13        currlen = i - num[ B[i] + N ] + 1; //num[ B[i] + N ]是B[i]已存在的下标
14        if(currlen > maxlen)
15            maxlen = currlen;
16    }

对于原文作者伪代码的错误和不严谨,我就不说了。重要的是,看了分析,大概明白了如何用O(n)的时间复杂度完成“在含有n个元素的整数序列中寻找两个距离最远而且相等的元素”这样一个问题。但是,该文章的作者没注意到:统计的时候要把0的位置当做差为0的起点。修改了文章作者的代码,得到如下的AC代码:
 1 #include <stdio.h>
 2 #include<stdlib.h>
 3 int main()
 4 {
 5     int n,t;
 6     int *b,*num;
 7     int count[2]={0,0};//统计从第一个到第i个位置的子段中,0和1的个数
 8     int maxlen=0,currlen=0;
 9     int i;
10     scanf("%d",&n);
11     b=(int *)malloc((n+1)*sizeof(int));
12     num=(int *)malloc((n*2+1)*sizeof(int));
13     for(i=0;i<=n;i++)
14         b[i]=0;
15     for(i=0;i<=2*n+1;i++)
16         num[i]=-1;
17
18     for(i=1;i<=n;i++)
19     {
20         scanf("%d",&t); //输入一个数字:0或1
21         count[t]++;     //统计0和1的个数
22         b[i]=count[0]-count[1];//b[i]保存0-1序列的前i个元素中:0和1的个数之差
23     }
24     if(count[0]==count[1]) printf("%d\n",count[0]+count[1]);
25     else
26     {
27         for(i=0;i<=n;i++)//注意:从0和1的个数都是0的地方开始扫描
28         {
29             if(num[b[i]+n]==-1)
30                 num[b[i]+n]=i;
31             else//already exist
32             {
33                 currlen = i - num[b[i]+n] ;   //num[b[i]+n]是b[i]已存在的下标
34                 if(currlen > maxlen)
35                     maxlen = currlen;
36             }
37         }
38         printf("%d\n",maxlen);
39     }
40
41     free(b);
42     free(num);
43     return 0;
44 }
				
时间: 2024-10-20 03:28:05

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