Kruskal算法核心是加边，先把所有边按照权值从小到大排序，然后在剩下的所有没有被选过的边中，找到最小的边，如果和已经选取的边构成回路则放弃，选取次小边，直到选取了n-1条边为止，这样所有点就都连通了。
每次从边集中选取的权值最小的边的两个顶点如果属于不同的树，就把他们合并（把这条边加入子图），反之则去看下一条边。
n个点e条边的情况下，时间复杂度O（e^2）,并查集优化之后O（eloge）,适用于求稀疏图的最小生成树。
int find(int x)
{
return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);
}
这是自带路径压缩的并查集
bool cmp(const int x,const int y)
{
return w[x]<w[y];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
p[i]=i;
for(int i=1;i<=e;i++)
r[i]=i;
sort(r+1,r+e+1,cmp);
第一个for循环是让每个点自己独自成为一个集合
第二个for循环和sort是为了让所有边按照权重排序
之后的内容就很显然了，完整的代码如下，程序读入了点数n和每两个点之间的边权关系，输出了最小生成树的结果。
1 #include<iostream>
2 #include<algorithm>
3 using namespace std;
4 const int maxn=105;
5 const int maxm=10005;
6 int n;
7 long long ans=0;
8 //
9 int e=0;
10 int u[maxm],v[maxm],w[maxm];
11 int p[maxn],r[maxm];
12 bool cmp(const int x,const int y)
13 {
14 return w[x]<w[y];
15 }
16 int find(int x)
17 {
18 return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);
19 }
20 void kruskal()
21 {
22 for(int i=1;i<=n;i++)
23 p[i]=i;
24 for(int i=1;i<=e;i++)
25 r[i]=i;
26 sort(r+1,r+e+1,cmp);
27 for(int i=1;i<=e;i++)
28 {
29 int m=r[i];
30 int x=find(u[m]);
31 int y=find(v[m]);
32 if(x!=y)
33 {
34 ans+=w[m];
35 p[x]=y;
36 }
37 }
38 }
39 int main()
40 {
41 cin>>n;
42 for(int i=1;i<=n;i++)
43 for(int j=1;j<=n;j++)
44 {
45 e++;
46 u[e]=i,v[e]=j;
47 cin>>w[e];
48 }
49 kruskal();
50 cout<<ans<<endl;
51 return 0;
52 }
接下来我们介绍Prim算法，规定一个点集和一个边集，初始状态下点集中包含任意一个点，边集为空
然后重复一下操作直到点集中包含所有的点
在边集中选取权值最小的一条边<u,v>，并且满足u在当前点集中而v在其补集中，如果有多条边满足这个条件就取任意一条
将点v加入点集，<u,v>加入边集
最后我们通过最终的边集和点集描述最小生成树
对于时间复杂度来说，我写的好像是最第二种。。先粘在这里跑路了。。
以后实现了相关细节再补充这部分内容，代码附下面。程序读入了n个点和m条边，输出了最小生成树的每一条边和边权之和。使用了邻接数组的数据结构。
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 using namespace std;
5 const int maxn=1005,maxm=1005;
6 const int INF = 0x7fffffff;
7 int n, m;
8 int tot;
9 struct point
10 {
11 bool vis;
12 int t, w;
13 };
14 struct G
15 {
16 int cur;
17 point e[maxm];
18 }g[maxn];
19 void addedge(int a,int b,int c)
20 {
21 tot++;
22 point tmp;
23 tmp.t = b;
24 tmp.w = c;
25 g[a].cur++;
26 int t = g[a].cur;
27 g[a].e[t] = tmp;
28 }
29 //
30 int vis[maxn];
31 int fa[maxn];
32 int dis[maxn];
33 int tot1;
34 int b1[maxn];
35 int b2[maxn];
36 int ans;
37 //
38 void prim()
39 {
40 memset(vis,0,sizeof(vis));
41 int cnt=0;
42 int p=1;
43 for (int i=1;i<=n;i++)
44 fa[i] = p;
45 vis[p] = 1;
46 cnt++;
47 for(int i=1;i<=n;i++)
48 {
49 for (int tmp=1;tmp<=g[p].cur;tmp++)
50 {
51 if(g[p].e[tmp].t==i)
52 dis[i]=g[p].e[tmp].w;
53 }
54 if(dis[i]==0)
55 dis[i]=INF;
56 }
57 while(cnt!=n)
58 {
59 int l = INF;
60 int q;
61 for(int i=1;i<=n;i++)
62 {
63 if(l>dis[i]&&!vis[i])
64 {
65 l=dis[i];
66 q=i;
67 }
68 }
69 vis[q]=true;
70 p=q;
71 if(l!=INF)
72 {
73 tot1++;
74 b1[tot1]=min(p,fa[p]);
75 b2[tot1]=max(p,fa[p]);
76 }
77 cnt++;
78 ans+=l;
79 for(int i=1;i<=n;i++)
80 if(!vis[i])
81 {
82 int t=INF;
83 for (int tmp=1;tmp<=g[p].cur;tmp++)
84 {
85 if(g[p].e[tmp].t==i)
86 t=g[p].e[tmp].w;
87 }
88 if(dis[i]>t)
89 {
90 dis[i]=t;
91 fa[i]=p;
92 }
93 }
94 }
95 }
96 int main()
97 {
98 cin>>n>>m;
99 for(int i=1;i<=m;i++)
100 {
101 int a,b,c;
102 cin>>a>>b>>c;
103 addedge(a,b,c);
104 addedge(b,a,c);
105 }
106 prim();
107 cout<<tot1<<endl;
108 for(int i=1;i<=tot1;i++)
109 cout<<i<<":"<<b1[i]<<" "<<b2[i]<<endl;
110 cout << ans << endl;
111 return 0;
112 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/aininot260/p/9272844.html
时间： 2024-08-30 02:08:52