树状数组区间修改，区间更新：差分数组的运用

树状数组最原始的作用就是求前缀和，可以实现单点修改和区间查询。

但是假设现在有：

1.区间修改，单点查询

2.区间修改，区间查询

但是又不想敲线段树怎么办？

就用树状数组喽。

假设现在有一个原数组a(假设a[0] = 0)，有一个数组d，d[i] = a[i] - a[i-1]，那么

a[i] = d[1] + d[2] + .... + d[i]

d数组就是差分数组

所以求a[i]就可以用树状数组维护d[i]的前缀和

区间修改，单点查询：

根据d的定义，对[l,r]区间加上x，那么a[l]和a[l-1]的差增加了x，a[r+1]与a[r]的差减少了x，所以就对差分数组的前缀和进行修改

设c是差分数组的前缀和

区间修改：

void add(int x,int k)
{
    for (int i = 1;i <= n;i += lowbit(i)) c[i] += k;
}
{
    add(l,x);
    add(r+1,-x);
}

单点查询：

int sum(int x)
{
    int ans = 0;
    for (int i = x;i > 0;i -= lowbit(i)) ans += c[i];
    return ans;
}

区间修改，区间查询：

根据上面的差分数组的定义可以得到：

a[1] + a[2] + a[3] + ... + a[k] = d[1] + d[1] + d[2] + d[1] + d[2] + d[3] + ... + d[1] + d[2] + d[3] + ... + d[k]

　　　　　　　　　　　　　 = Σ(k - i + 1) * d[i]  (i从1到k)

变化一下 Σa[i] (i从1到k) = Σ(k+1) * d[i] - i * d[i] (i从1到k)

d[i]可以用一个前缀和维护，i * d[i]也可以用一个前缀和进行维护，所以区间修改，区间查询就变得很方便了

假设c1维护d[i]的前缀和，c2维护d[i] * i的前缀和

区间修改：

void add(int x,int y)
{
    for (int i = x;i <= n;i += lowbit(i)) c1[i] += x,c2[i] += x * y;
}
{
    add(l,x);
    add(r+1,-x);
}

区间查询：

int sum(int x)
{
    int ans1 = 0;
    int ans2 = 0;
    for (int i = x;i > 0;i -= lowbit(i))
    {
        ans1 += (x + 1) * c1[i];
        ans2 += c2[i];
    }
    return ans1 - ans2;
}

比线段树好写多了（蓝儿还是容易写炸

参考了以下两位前辈的博客，感谢：

https://www.cnblogs.com/lcf-2000/p/5866170.html

https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/BIT.html

原文地址：https://www.cnblogs.com/kickit/p/9172189.html