1049: [HAOI2006]数字序列

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Description

现在我们有一个长度为n的整数序列A。但是它太不好看了，于是我们希望把它变成一个单调严格上升的序列。但是不希望改变过多的数，也不希望改变的幅度太大。

Input

第一行包含一个数n，接下来n个整数按顺序描述每一项的键值。

Output

第一行一个整数表示最少需要改变多少个数。 第二行一个整数，表示在改变的数最少的情况下，每个数改变的绝对值之和的最小值。

Sample Input

4

5 2 3 5

Sample Output

1

4

HINT

【数据范围】

90%的数据n<=6000。

100%的数据n<=35000。

保证所有数列是随机的。

感觉这道题非常的神啊。

对于第一问还是比较简单的，我们可以由题目知道对于原数列如果是严格上升的，那么a[j]-a[i]>=j-i(j>i)也就是(a[j]-j)-(a[i]-i)>=0

那么我们将所有的a[i]-i,就变成了求a[i]的最长不下降子序列。

第二问就比较难搞了。。

我们继续用上面的a数组。如果对于上面的第一问j可以转移到i，那么就有f[j]+1=f[i]。我们用cost[j,i]表示从j到i这段区间内变成合法的最小费用，那么我们就有了这样一个方程：

g[i]=minf[j]+1=f[i](g[j]+cost[j+1,i])

那么我们怎样去计算cost呢？

这里有一个结论，就是对于j+1到i这段区间来说，肯定有的个点t，使得j+1到t都等于j，t+1到i都等于i。

至于为什么呢，ydc有证明：

然后我们枚举t就好了。

这样是n^3，但是数据比较水。

从网上看的第二问的标解是二分图。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define mid (l+r)/2
#define LL long long
#define inf 210000000
#define INF 2100000000000000000
const int N=36000;
int n,a[N],top=0,stack[N],f[N],tot=0,point[N],next[N],to[N];
LL g[N],sum1[N],sum2[N];
void add(int x,int y)
{
    tot+=1;
    next[tot]=point[x];
    point[x]=tot;
    to[tot]=y;
}
int abs(int x){return x<0?-x:x;}
int main()
{
    int i,j,k,l,r,now;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]),a[i]-=i;
    a[++n]=inf;
    stack[0]=-inf;
    for(i=1;i<=n;++i){
        if(a[i]>=stack[top]) stack[++top]=a[i],f[i]=top;
        else{
            l=1;r=top;
            while(l<=r){
                if(a[i]>=stack[mid]) l=mid+1;
                else r=mid-1;
            }
            stack[l]=a[i];
            f[i]=l;
        }
    }
    printf("%d\n",n-top);
    for(i=n;~i;--i){
        g[i]=INF;
        add(f[i],i);
    }
    a[0]=-inf;
    g[0]=0;
    for(i=1;i<=n;++i)
      for(j=point[f[i]-1];j;j=next[j]){
        now=to[j];
        if(now>i) break;
        if(a[now]>a[i]) continue;
        sum1[now-1]=sum2[now-1]=0;
        for(k=now;k<=i;++k){
            sum1[k]=sum1[k-1]+abs(a[now]-a[k]);
            sum2[k]=sum2[k-1]+abs(a[i]-a[k]);
        }
        for(k=now;k<i;++k)
          g[i]=min(g[i],g[now]+sum1[k]-sum1[now]+sum2[i]-sum2[k]);
      }
    printf("%lld\n",g[n]);
}

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