要点
哈希表和哈希函数
在记录的存储位置和它的关键字之间是建立一个确定的对应关系（映射函数），使每个关键字和一个存储位置能唯一对应。这个映射函数称为哈希函数，根据这个原则建立的表称为哈希表(Hash Table)，也叫散列表。
以上描述，如果通过数学形式来描述就是：
若查找关键字为 key，则其值存放在 f(key) 的存储位置上。由此，不需比较便可直接取得所查记录。
注：哈希查找与线性表查找和树表查找最大的区别在于，不用数值比较。
冲突
若 key1 ≠ key2 ，而 f(key1) = f(key2)，这种情况称为冲突(Collision)。
根据哈希函数f(key)和处理冲突的方法将一组关键字映射到一个有限的连续的地址集（区间）上，并以关键字在地址集中的“像”作为记录在表中的存储位置，这一映射过程称为构造哈希表。
构造哈希表这个场景就像汽车找停车位，如果车位被人占了，只能找空的地方停。
构造哈希表
由以上内容可知，哈希查找本身其实不费吹灰之力，问题的关键在于如何构造哈希表和处理冲突。
常见的构造哈希表的方法有 5 种：
（1）直接定址法
说白了，就是小学时学过的一元一次方程。
即 f(key) = a * key + b。其中，a和b 是常数。
（2）数字分析法
假设关键字是R进制数（如十进制）。并且哈希表中可能出现的关键字都是事先知道的，则可选取关键字的若干数位组成哈希地址。
选取的原则是使得到的哈希地址尽量避免冲突，即所选数位上的数字尽可能是随机的。
（3）平方取中法
取关键字平方后的中间几位为哈希地址。通常在选定哈希函数时不一定能知道关键字的全部情况，仅取其中的几位为地址不一定合适；
而一个数平方后的中间几位数和数的每一位都相关， 由此得到的哈希地址随机性更大。取的位数由表长决定。
（4）除留余数法
取关键字被某个不大于哈希表表长 m 的数 p 除后所得的余数为哈希地址。
即 f(key) = key % p (p ≤ m)
这是一种最简单、最常用的方法，它不仅可以对关键字直接取模，也可在折叠、平方取中等运算之后取模。
注意：p的选择很重要，如果选的不好，容易产生冲突。根据经验，一般情况下可以选p为素数。
（5）随机数法
选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的哈希地址，即 f(key) = random(key)。
通常，在关键字长度不等时采用此法构造哈希函数较为恰当。
解决冲突
设计合理的哈希函数可以减少冲突，但不能完全避免冲突。
所以需要有解决冲突的方法，常见有两类
（1）开放定址法
如果两个数据元素的哈希值相同，则在哈希表中为后插入的数据元素另外选择一个表项。
当程序查找哈希表时，如果没有在第一个对应的哈希表项中找到符合查找要求的数据元素，程序就会继续往后查找，直到找到一个符合查找要求的数据元素，或者遇到一个空的表项。
例子
若要将一组关键字序列 {1, 9, 25, 11, 12, 35, 17, 29} 存放到哈希表中。
采用除留余数法构造哈希表；采用开放定址法处理冲突。
不妨设选取的p和m为13，由 f(key) = key % 13 可以得到下表。
需要注意的是，在上图中有两个关键字的探查次数为 2 ，其他都是1。
这个过程是这样的：
a. 12 % 13 结果是12，而它的前面有个 25 ，25 % 13 也是12，存在冲突。
我们使用开放定址法 (12 + 1) % 13 = 0，没有冲突，完成。
b. 35 % 13 结果是 9，而它的前面有个 9，9 % 13也是 9，存在冲突。
我们使用开放定址法 (9 + 1) % 13 = 10，没有冲突，完成。
（2）拉链法
将哈希值相同的数据元素存放在一个链表中，在查找哈希表的过程中，当查找到这个链表时，必须采用线性查找方法。
在这种方法中，哈希表中每个单元存放的不再是记录本身，而是相应同义词单链表的头指针。
例子
如果对开放定址法例子中提到的序列使用拉链法，得到的结果如下图所示：
实现一个哈希表
假设要实现一个哈希表，要求
a. 哈希函数采用除留余数法，即 f(key) = key % p (p ≤ m)
b. 解决冲突采用开放定址法，即 f2(key) = (f(key)+i) % size (p ≤ m)
（1）定义哈希表的数据结构
class HashTable {
public int key = 0; // 关键字
public int data = 0; // 数值
public int count = 0; // 探查次数
}
（2）在哈希表中查找关键字key
根据设定的哈希函数，计算哈希地址。如果出现地址冲突，则按设定的处理冲突的方法寻找下一个地址。
如此反复，直到不冲突为止（查找成功）或某个地址为空（查找失败）。
/**
* 查找哈希表
* 构造哈希表采用除留取余法，即f(key) = key mod p (p ≤ size)
* 解决冲突采用开放定址法，即f2(key) = (f(key) + i) mod p (1 ≤ i ≤ size-1)
* ha为哈希表，p为模，size为哈希表大小，key为要查找的关键字
*/
public int searchHashTable(HashTable[] ha, int p, int size, int key) {
int addr = key % p; // 采用除留取余法找哈希地址
// 若发生冲突，用开放定址法找下一个哈希地址
while (ha[addr].key != NULLKEY && ha[addr].key != key) {
addr = (addr + 1) % size;
}
if (ha[addr].key == key) {
return addr; // 查找成功
} else {
return FAILED; // 查找失败
}
}
（3）删除关键字为key的记录
在采用开放定址法处理冲突的哈希表上执行删除操作，只能在被删记录上做删除标记，而不能真正删除记录。
找到要删除的记录，将关键字置为删除标记DELKEY。
public int deleteHashTable(HashTable[] ha, int p, int size, int key) {
int addr = 0;
addr = searchHashTable(ha, p, size, key);
if (FAILED != addr) { // 找到记录
ha[addr].key = DELKEY; // 将该位置的关键字置为DELKEY
return SUCCESS;
} else {
return NULLKEY; // 查找不到记录，直接返回NULLKEY
}
}
（4）插入关键字为key的记录
将待插入的关键字key插入哈希表
先调用查找算法，若在表中找到待插入的关键字，则插入失败；
若在表中找到一个开放地址，则将待插入的结点插入到其中，则插入成功。
public void insertHashTable(HashTable[] ha, int p, int size, int key) {
int i = 1;
int addr = 0;
addr = key % p; // 通过哈希函数获取哈希地址
if (ha[addr].key == NULLKEY || ha[addr].key == DELKEY) { // 如果没有冲突，直接插入
ha[addr].key = key;
ha[addr].count = 1;
} else { // 如果有冲突，使用开放定址法处理冲突
do {
addr = (addr + 1) % size; // 寻找下一个哈希地址
i++;
} while (ha[addr].key != NULLKEY && ha[addr].key != DELKEY);
ha[addr].key = key;
ha[addr].count = i;
}
}
（5）建立哈希表
先将哈希表中各关键字清空，使其地址为开放的，然后调用插入算法将给定的关键字序列依次插入。
public void createHashTable(HashTable[] ha, int[] list, int p, int size) {
int i = 0;
// 将哈希表中的所有关键字清空
for (i = 0; i < ha.length; i++) {
ha[i].key = NULLKEY;
ha[i].count = 0;
}
// 将关键字序列依次插入哈希表中
for (i = 0; i < list.length; i++) {
this.insertHashTable(ha, p, size, list[i]);
}
}
完整代码
1 class HashTable {
2 public int key = 0; // 关键字
3 public int data = 0; // 数值
4 public int count = 0; // 探查次数
5 }
6
7 public class HashSearch {
8
9 private final static int MAXSIZE = 20;
10 private final static int NULLKEY = 1;
11 private final static int DELKEY = 2;
12 private final static int SUCCESS = 0;
13 private final static int FAILED = 0xFFFFFFFF;
14
15 /**
16 * 查找哈希表
17 * 构造哈希表采用除留取余法，即f(key) = key mod p (p ≤ size)
18 * 解决冲突采用开放定址法，即f2(key) = (f(key) + i) mod p (1 ≤ i ≤ size-1)
19 * ha为哈希表，p为模，size为哈希表大小，key为要查找的关键字
20 */
21 public int searchHashTable(HashTable[] ha, int p, int size, int key) {
22 int addr = key % p; // 采用除留取余法找哈希地址
23
24 // 若发生冲突，用开放定址法找下一个哈希地址
25 while (ha[addr].key != NULLKEY && ha[addr].key != key) {
26 addr = (addr + 1) % size;
27 }
28
29 if (ha[addr].key == key) {
30 return addr; // 查找成功
31 } else {
32 return FAILED; // 查找失败
33 }
34 }
35
36 /**
37 * 删除哈希表中关键字为key的记录
38 * 找到要删除的记录，将关键字置为删除标记DELKEY
39 */
40 public int deleteHashTable(HashTable[] ha, int p, int size, int key) {
41 int addr = 0;
42 addr = searchHashTable(ha, p, size, key);
43 if (FAILED != addr) { // 找到记录
44 ha[addr].key = DELKEY; // 将该位置的关键字置为DELKEY
45 return SUCCESS;
46 } else {
47 return NULLKEY; // 查找不到记录，直接返回NULLKEY
48 }
49 }
50
51 /**
52 * 将待插入的关键字key插入哈希表
53 * 先调用查找算法，若在表中找到待插入的关键字，则插入失败；
54 * 若在表中找到一个开放地址，则将待插入的结点插入到其中，则插入成功。
55 */
56 public void insertHashTable(HashTable[] ha, int p, int size, int key) {
57 int i = 1;
58 int addr = 0;
59 addr = key % p; // 通过哈希函数获取哈希地址
60 if (ha[addr].key == NULLKEY || ha[addr].key == DELKEY) { // 如果没有冲突，直接插入
61 ha[addr].key = key;
62 ha[addr].count = 1;
63 } else { // 如果有冲突，使用开放定址法处理冲突
64 do {
65 addr = (addr + 1) % size; // 寻找下一个哈希地址
66 i++;
67 } while (ha[addr].key != NULLKEY && ha[addr].key != DELKEY);
68
69 ha[addr].key = key;
70 ha[addr].count = i;
71 }
72 }
73
74 /**
75 * 创建哈希表
76 * 先将哈希表中各关键字清空，使其地址为开放的，然后调用插入算法将给定的关键字序列依次插入。
77 */
78 public void createHashTable(HashTable[] ha, int[] list, int p, int size) {
79 int i = 0;
80
81 // 将哈希表中的所有关键字清空
82 for (i = 0; i < ha.length; i++) {
83 ha[i].key = NULLKEY;
84 ha[i].count = 0;
85 }
86
87 // 将关键字序列依次插入哈希表中
88 for (i = 0; i < list.length; i++) {
89 this.insertHashTable(ha, p, size, list[i]);
90 }
91 }
92
93 /**
94 * 输出哈希表
95 */
96 public void displayHashTable(HashTable[] ha) {
97 int i = 0;
98 System.out.format("pos:\t", "pos");
99 for (i = 0; i < ha.length; i++) {
100 System.out.format("%4d", i);
101 }
102 System.out.println();
103
104 System.out.format("key:\t");
105 for (i = 0; i < ha.length; i++) {
106 if (ha[i].key != NULLKEY) {
107 System.out.format("%4d", ha[i].key);
108 } else {
109 System.out.format(" ");
110 }
111 }
112 System.out.println();
113
114 System.out.format("count:\t");
115 for (i = 0; i < ha.length; i++) {
116 if (0 != ha[i].count) {
117 System.out.format("%4d", ha[i].count);
118 } else {
119 System.out.format(" ");
120 }
121 }
122 System.out.println();
123 }
124
125 public static void main(String[] args) {
126 int[] list = { 3, 112, 245, 27, 44, 19, 76, 29, 90 };
127 HashTable[] ha = new HashTable[MAXSIZE];
128 for (int i = 0; i < ha.length; i++) {
129 ha[i] = new HashTable();
130 }
131
132 HashSearch search = new HashSearch();
133 search.createHashTable(ha, list, 19, MAXSIZE);
134 search.displayHashTable(ha);
135
136 }
137
138 }
哈希查找之JAVA实现
参考资料
《数据结构习题与解析》（B级第3版）
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