梯度方程

　　一个自然的问题给定一个$n$维$C^1$向量$\vec{A}(x)$, 能否找到一个位势函数$u$使得， $\nabla u=\vec{A}$?

当$\forall  i\neq j$, $\frac{\partial A_{i}(x)}{\partial x_j}=\frac{\partial A_{j}(x)}{\partial x_i}$ 时，可以局部的找到。这其实就是外微分形式的Poincare引理的特殊情形，然后下面给出一个直接的证明。

考虑  $u(x)=\int_0^1 A_i(tx)x_idt$，下面直接求导验证.

$\frac{\partial u}{\partial x_j}=\int_0^1\frac{\partial A_i(tx)}{\partial p_k}t\delta _{kj}x_i+A_i(tx)\delta_{ij}dt$

$ =\int_0^1\frac{\partial A_i(tx)}{\partial p_j}tx_i+A_j(tx)dt$

$ =\int_0^1\frac{\partial A_j(tx)}{\partial p_i}t x_idt+\int_0^1A_j(tx)dt$

$ =\int_0^1\frac{d A_j(tx)}{dt}tdt+\int_0^1A_j(tx)dt$

最后通过对$t$分部积分或者全微分就可以得到，

$ =\int_0^1\frac{d( tA_j(tx))}{dt}dt$

$ =A_j(x)$.

原文地址：https://www.cnblogs.com/Analysis-PDE/p/11159209.html