LIS/LCS/LCIS

1.最长上升子序列

2.最长公共子序列

对于两个序列X={x₁,x₂,x₃...x_i ...}，Y={y₁,y₂,y_3... y_i...}

3.最长上升公共子序列

以下摘自刘汝佳《最长公共上升子序列（LCIS）的O(n^2)算法》

预备知识：动态规划的基本思想，LCS，LIS。

问题：字符串a，字符串b，求a和b的LCIS（最长公共上升子序列）。

首先我们可以看到，这个问题具有相当多的重叠子问题。于是我们想到用DP搞。DP的首要任务是什么？定义状态。

定义状态F[i][j]表示以a串的前i个字符b串的前j个字符且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。

为什么是这个而不是其他的状态定义？最重要的原因是我只会这个，还有一个原因是我知道这个定义能搞到平方的算法。而我这只会这个的原因是，这个状态定义实在是太好用了。这一点我后面再说。

我们来考察一下这个这个状态。思考这个状态能转移到哪些状态似乎有些棘手，如果把思路逆转一下，考察这个状态的最优值依赖于哪些状态，就容易许多了。这个状态依赖于哪些状态呢？

首先，在a[i]!=b[j]的时候有F[i][j]=F[i-1][j]。为什么呢？因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS，如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个字符a[k]等于b[j]（如果F[i][j]等于0呢？那赋值与否都没有什么影响了）。因为a[k]!=a[i]，那么a[i]对F[i][j]没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出F[i][j]的最优值。所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。这一点参考LCS的处理方法。

那如果a[i]==b[j]呢？首先，这个等于起码保证了长度为1的LCIS。然后我们还需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。并且也不能是i-2，因为i-1必然比i-2更优。第二维呢？那就需要枚举b[1]..b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。这里还有一个问题，可不可能不配对呢？也就是在a[i]==b[j]的情况下，需不需要考虑F[i][j]=F[i-1][j]的决策呢？答案是不需要。因为如果b[j]不和a[i]配对，那就是和之前的a[1]..a[j-1]配对（假设F[i-1][j]>0，等于0不考虑），这样必然没有和a[i]配对优越。（为什么必然呢？因为b[j]和a[i]配对之后的转移是max(F[i-1][k])+1，而和之前的i`配对则是max(F[i`-1][k])+1。显然有F[i][j]>F[i`][j],i`>i）

于是我们得出了状态转移方程：

a[i]!=b[j]:   F[i][j]=F[i-1][j]

a[i]==b[j]:   F[i][j]=max(F[i-1][k])+1 1<=k<=j-1&&b[j]>b[k]

不难看到，这是一个时间复杂度为O(n^3)的DP，离平方还有一段距离。

但是，这个算法最关键的是，如果按照一个合理的递推顺序，max(F[i-1][k])的值我们可以在之前访问F[i][k]的时候通过维护更新一个max变量得到。怎么得到呢？首先递推的顺序必须是状态的第一维在外层循环，第二维在内层循环。也就是算好了F[1][len(b)]再去算F[2][1]。

如果按照这个递推顺序我们可以在每次外层循环的开始加上令一个max变量为0，然后开始内层循环。当a[i]>b[j]的时候令max=F[i-1][j]。如果循环到了a[i]==b[j]的时候，则令F[i][j]=max+1。

最后答案是F[len(a)][1]..F[len(a)][len(b)]的最大值。

参考代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
int f[1005][1005],a[1005],b[1005],i,j,t,n1,n2,max;
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n1,&n2);
        for(i=1;i<=n1;i++) scanf("%d",&a[i]);
        for(i=1;i<=n2;i++) scanf("%d",&b[i]);
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(i=1;i<=n1;i++)
        {
            max=0;
            for(j=1;j<=n2;j++)
            {
                f[i][j]=f[i-1][j];
                if (a[i]>b[j]&&max<f[i-1][j]) max=f[i-1][j];
                if (a[i]==b[j]) f[i][j]=max+1;
            }
        }
        max=0;
        for(i=1;i<=n2;i++) if (max<f[n1][i]) max=f[n1][i];
        printf("%d\n",max);
    }
}

4.最大子序和

(1)改进的穷举法O(n^2)

int MaxSubSum(int *arr, int n)
{
    int MaxSum = 0, ThisSum;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        ThisSum = 0;  // ThisSum减少了O(n^3)中的重复计算
        for(int j = i; j < n; j++)
        {
            ThisSum += arr[j];
            MaxSum = max(MaxSum, ThisSum);
        }
    }
    return MaxSum;
}

(2)分治法O(nlogn)

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;

int MaxSubSum(int *arr, int left, int right)
{
    if(left == right)
        return (arr[left] < 0) ? 0 : arr[left];

    int LMaxSum, RMaxSum, CMaxSum;
    int center = (left + right) / 2;
    LMaxSum = MaxSubSum(arr, left, center);
    RMaxSum = MaxSubSum(arr, center+1, right);

    // 左部包含右端结点的最长子序列
    int LLMaxSum = 0, LLThisSum = 0;
    for(int i = center; i >= left; i--)
    {
        LLThisSum += arr[i];
        LLMaxSum = max(LLMaxSum, LLThisSum);
    }
    // 右部包含左端结点的最长子序列
    int RRMaxSum = 0, RRThisSum = 0;
    for(int i = center+1; i <= right; i++)
    {
        RRThisSum += arr[i];
        RRMaxSum = max(RRMaxSum, RRThisSum);
    }
    // 跨越左右两部分的最长子序列
    CMaxSum = LLMaxSum + RRMaxSum;

    return max(max(LMaxSum, RMaxSum), CMaxSum);
}

int main()
{
    int arr[12] = {-6, 2, 4, -7, 5, 3, 2, -1, 6, -9, 10, -2};
    printf("ans = %d\n", MaxSubSum(arr, 0, 11));
}

(3)动态规划法O(n)

int MaxSubSum(int *arr, int n)
{
    int MaxSum = 0, ThisSum = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        ThisSum += arr[i];
        if(ThisSum < 0)  // 说明此段不可能作为最大上升子序列的前缀
            ThisSum = 0;
        MaxSum = max(MaxSum, ThisSum);  // 但此段中出现的最大上升子序列对结果可能有影响
    }
    return MaxSum;
}