BZOJ 2753 SCOI 2012 滑雪与时间胶囊 最小生成树

题目大意：在滑雪场中，每一个景点有一个高度。现在小明在一号节点。i和j之间有单向边当且仅当i的高度不高于j。问小明最多可以去多少个景点，和最小总费用。

思路：这是一道数学证明的好题。

第一问比较水，直接将可行的边连接起来，然后BFS出解。

第二问就比较难搞了。不难看出，直接用朱刘算法是不可行的，因为朱刘算法的时间复杂度达到了O(mn)，而这个题至少需要一个O(mlogm)的算法。

恩？你说mlogm？难道是最小生成树？但是这图中都是单向边啊。

经过了上网找题解，和同学研究之后，终于弄明白了这题的精髓。简要说明一下做法和正确性。

做法很简单。只需要改变一下边的排序，第一键值为终点的高度，第二键值为边的权值。然后正常跑MST就行了。可这是为什么？

首先明确，在一个高度中，两点之间有边就一定是双向边。那么在一个高度且有边的点会形成一个强连通分量。将所有能够从1遍历到的点进行缩点之后，图会变成以1所在的SCC为起点的可拓扑图（因为高度比1还高的点一定无法到达，所以没有边）。

之后从上向下考虑，每一个SCC的高度一定是一样的。而终点为这个高度的边有两种，一种是从更高处的SCC连到这个高度的SCC的单向边，和这个SCC中的双向边，在处理这一层的时候，可以吧这两种边都看成是无向边，也就可以套用正常的MST了。

CODE：

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 2000010
using namespace std;

int h[MAX];

struct Edge{
    int x,y,length;

    bool operator <(const Edge &a) const {
        if(h[y] == h[a.y])  return length < a.length;
        return h[y] > h[a.y];
    }
    void Read() {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&length);
        if(h[x] < h[y])  swap(x,y);
    }
}edge[MAX];

int points,edges;
int head[MAX],total;
int next[MAX],aim[MAX];

int father[MAX];
bool v[MAX];

inline void Add(int x,int y)
{
    next[++total] = head[x];
    aim[total] = y;
    head[x] = total;
}

int BFS()
{
    static queue<int> q;
    int re = 1;
    v[1] = true;
    q.push(1);
    while(!q.empty()) {
        int x = q.front(); q.pop();
        for(int i = head[x]; i; i = next[i])
            if(!v[aim[i]]) {
                v[aim[i]] = true;
                ++re;
                q.push(aim[i]);
            }
    }
    return re;
}

int Find(int x)
{
    if(father[x] == x)  return x;
    return father[x] = Find(father[x]);
}

long long MST()
{
    long long re = 0;
    sort(edge + 1,edge + edges + 1);
    for(int i = 1; i <= points; ++i) father[i] = i;
    for(int i = 1; i <= edges; ++i) {
        if(!v[edge[i].x] || !v[edge[i].y])  continue;
        int fx = Find(edge[i].x);
        int fy = Find(edge[i].y);
        if(fx != fy) {
            father[fx] = fy;
            re += edge[i].length;
        }
    }
    return re;
}

int main()
{
    cin >> points >> edges;
    for(int i = 1; i <= points; ++i)
        scanf("%d",&h[i]);
    for(int i = 1; i <= edges; ++i) {
        edge[i].Read();
        Add(edge[i].x,edge[i].y);
        if(h[edge[i].x] == h[edge[i].y])
            Add(edge[i].y,edge[i].x);
    }
    cout << BFS() << ' ';
    cout << MST() << endl;
    return 0;
}