[再寄小读者之数学篇](2014-05-25 非线性递归数列的敛散性)

数列{xn}

满足如下定义:

a>0,b>0;x1=a,x2=b;xn+2=2+1x2n+1+1x2n,n≥1.

讨论该数列 {xn}

的敛散性.

证明: (来自 magic9901) 设

limn→+∞ˉˉˉˉˉˉˉˉxn=A,limn→+∞ˉˉˉˉˉˉˉˉxn=B

于是就有 2<A?B<52

，则由递推关系式:

xn+2=2+1x2n+1+1x2n

就得到:

A==?==limn→+∞ˉˉˉˉˉˉˉˉxn+2limn→+∞ˉˉˉˉˉˉˉˉ(2+1x2n+1+1x2n)2+limn→+∞ˉˉˉˉˉˉˉˉ1x2n+1+limn→+∞ˉˉˉˉˉˉˉˉ1x2n2+1limn→+∞ˉˉˉˉˉˉˉˉx2n+1+1limn→+∞ˉˉˉˉˉˉˉˉx2n2+2B2.

同理可以得到:

B?2+2A2

因此就有:

0?B?A?2A2?2B2=2(A+B)A2B2(B?A)

注意到:

128625<2(A+B)A2B2<58

则得到: A=B

, 所以就有:

limn→+∞xn=A=B=x∈(2,52).