[AH2017/HNOI2017]单旋

题目描述

H国是一个热爱写代码的国家，那里的人们很小去学校学习写各种各样的数据结构。伸展树（splay）是一种数据结构，因为代码好写，功能多，效率高，掌握这种数据结构成为了H国的必修技能。有一天，邪恶的“卡”带着他的邪恶的“常数”来企图毁灭H国。“卡”给H国的人洗脑说，splay如果写成单旋的，将会更快。“卡”称“单旋splay”为“spaly”。虽说他说的很没道理，但还是有H国的人相信了，小H就是其中之一，spaly马上成为他的信仰。而H国的国王，自然不允许这样的风气蔓延，国王构造了一组数据，数据由m（不超过10^5）个操作构成，他知道这样的数据肯定打垮spaly，但是国王还有很多很多其他的事情要做，所以统计每个操作

所需要的实际代价的任务就交给你啦。数据中的操作分为5种：

1. 插入操作：向当前非空spaly中插入一个关键码为key的新孤立节点。插入方法为，先让key和根比较，如果key比根小，则往左子树走，否则往右子树走，如此反复，直到某个时刻，key比当前子树根x小，而x的左子树为空，那就让key成为x的左孩子；或者key比当前子树根x大，而x的右子树为空，那就让key成为x的右孩子。该操作的代价为：插入后，key的深度。特别地，若树为空，则直接让新节点成为一个单个节点的树。（各节点关键码互不相等。对于“深度”的解释见末尾对spaly的描述。）
2. 单旋最小值:将spaly中关键码最小的元素xmin单旋到根。操作代价为：单旋前xmin的深度。（对于单旋操作的解释见末尾对spaly的描述。）
3. 单旋最大值:将spaly中关键码最大的元素xmax单旋到根。操作代价为：单旋前xmax的深度。
4. 单旋删除最小值：先执行2号操作，然后把根删除。由于2号操作之后，根没有左子树，所以直接切断根和右子树的联系即可。（具体见样例解释）。操作代价同2号操作。
5. 单旋删除最大值：先执行3号操作，然后把根删除。操作代价同3号操作。

   

对于不是H国的人，你可能需要了解一些spaly的知识，才能完成国王的任务：

1. spaly是一棵二叉树，满足对于任意一个节点x，它如果有左孩子lx，那么lx的关键码小于x的关键码。如果有右孩子rx，那么rx的关键码大于x的关键码。
2. 一个节点在spaly的深度定义为：从根节点到该节点的路径上一共有多少个节点（包括自己）。
3. 单旋操作是对于一棵树上的节点x来说的。一开始，设f为x在树上的父亲。如果x为f的左孩子，那么执行zig(x)操作（如上图中，左边的树经过zig(x)变为了右边的树）,否则执行zag(x)操作（在上图中，将右边的树经过zag(f)就变成了左边的树）。每当执行一次zig(x)或者zag(x),x的深度减小1，如此反复，直到x为根。总之，单旋x就是通过反复执行zig和zag将x变为根。

输入输出格式

输入格式：

输入文件名为 splay.in。

第一行单独一个正整数 m (1 <= m <= 10^5)。

接下来 m 行，每行描述一个操作：首先是一个操作编号 c（ 1<=c<=5），既问题描述中给出的 5 种操作中的编号，若 c= 1，则再输入一个非负整数 key，表示新插入节点的关键码。

输出格式：

输出文件名为 splay.out。

输出共 m 行，每行一个整数，第 i 行对应第 i 个输入的操作的代价。

输入输出样例

输入样例#1：
复制

5
1 2
1 1
1 3
4
5

输出样例#1： 复制

1
2
2
2
2

说明

20%的数据满足： 1 <= m <= 1000。

另外 30%的数据满足： 不存在 4,5 操作。

100%的数据满足： 1<=m<=10^5； 1<=key<=10^9。 所有出现的关键码互不相同。 任何一个非插入操作，一定保证树非空。 在未执行任何操作之前，树为空。

solution:首先hash插入值，用线段树保存hash值在树上的深度。由于我们只需要单旋最大值和最小值，通过手玩数据我们发现单旋最小值并不会改变树的形状，发生变化的只有最小值成为了根，最小值原来的右子树成为了他父亲的左子树，相应的最小值的深度不变，其它结点深度均+1，单旋最大值同理。对于插入值，我们只需找到他的前驱后继，再维护深度和父子关系即可，对于删除最大值和最小值，我们先将他们旋转到根，然后删除即可，找前驱后继可以维护一个动态的set，注意线段树的松弛操作。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200010
using namespace std;
int m,tp,root;
int opt[N],v[N],q[N],ch[N][2],fa[N],dep[N*2];
set<int>st;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f*=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}
void down(int rt)
{
    if(dep[rt])
    {
    dep[rt<<1]+=dep[rt];
    dep[rt<<1|1]+=dep[rt];
    dep[rt]=0;
    }
}
void modify(int rt,int l,int r,int pos,int val)
{
    if(l==r){dep[rt]=val;return ;}
    down(rt);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid)modify(rt<<1,l,mid,pos,val);
    else modify(rt<<1|1,mid+1,r,pos,val);
}
int query(int rt,int l,int r,int pos)
{
    if(l==r)return dep[rt];
    down(rt);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid)return query(rt<<1,l,mid,pos);
    else return query(rt<<1|1,mid+1,r,pos);
}
void update(int rt,int l,int r,int L,int R,int k)
{
    if(L<=l&&R>=r){dep[rt]+=k;return ;}
    down(rt);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid)update(rt<<1,l,mid,L,R,k);
    if(R>mid)update(rt<<1|1,mid+1,r,L,R,k);
}
int insert(int x)
{
    set<int>::iterator it=st.insert(x).first;//定义前向迭代器，下标从插入元素开始
    if(!root){root=x;modify(1,1,tp,x,1);return 1;}//空树，插入结点深度为1
    if(it!=st.begin())//如果插入元素有前驱
    {
    if(!ch[*--it][1])ch[fa[x]=*it][1]=x;//如果前驱没有右儿子
    it++;
    }
    if(!fa[x])ch[fa[x]=*++it][0]=x;//要么成为后继的左儿子
    int deep=query(1,1,tp,fa[x])+1;
    modify(1,1,tp,x,deep);
    return deep;
}
int findmax()
{
    int x=*st.rbegin(),res=query(1,1,tp,x);
    if(x==root)return 1;
    if(x-1>=fa[x]+1)update(1,1,tp,fa[x]+1,x-1,-1);//x右树的深度都不变，所以先减1
    update(1,1,tp,1,tp,1);
    ch[fa[x]][1]=ch[x][0];
    fa[ch[x][0]]=fa[x];
    ch[fa[root]=x][0]=root;
    root=x;
    modify(1,1,tp,x,1);
    return res;
}
int findmin()
{
    int x=*st.begin(),res=query(1,1,tp,x);//找到最小值并询问深度
    if(x==root)return 1;
    if(x+1<=fa[x]-1)//x有右子数
    update(1,1,tp,x+1,fa[x]-1,-1);//x右树的深度都不变，所以先减1
    update(1,1,tp,1,tp,1);
    ch[fa[x]][0]=ch[x][1];
    fa[ch[x][1]]=fa[x];
    ch[fa[root]=x][1]=root;
    root=x;
    modify(1,1,tp,x,1);
    return res;
}
void delmax()
{
    printf("%d\n",findmax());
    update(1,1,tp,1,tp,-1);
    st.erase(root);
    root=ch[root][0];
    fa[root]=0;
}
void delmin()
{
    printf("%d\n",findmin());
    update(1,1,tp,1,tp,-1);
    st.erase(root);
    root=ch[root][1];
    fa[root]=0;
}
int main()
{
    m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    opt[i]=read();
    if(opt[i]==1)q[++tp]=v[i]=read();
    }
    sort(q+1,q+1+tp);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    if(opt[i]==1)v[i]=lower_bound(q+1,q+1+tp,v[i])-q;//将插入的值离散化
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    if(opt[i]==1){printf("%d\n",insert(v[i]));}
    else if(opt[i]==2)printf("%d\n",findmin());
    else if(opt[i]==3)printf("%d\n",findmax());
    else if(opt[i]==4)delmin();
    else if(opt[i]==5)delmax();
    }
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/lxykk/p/8524879.html