博弈论 课上摸鱼小笔记

对于普通的P/N分析，需要记住定义才能准确写出记忆化搜索:

1.无法进行任何移动的局面是P

2.存在后继局面为P的局面为N

3.所有后继局面为N的局面为P

Bash的粗糙证明过程

若石子为\(n\)最多取\(m\)个且符合\(n=(m+1)r+s,s<m+1\)，先手总有方法留下\(n=(m+1)r‘\)的局面给对手

Nim的证明过程

1.无法移动的局面为P

无论多少个0异或都是0

2.N可以移动到P

若\(a_1⊕a_2⊕...a_n=k,k!=0\)，必可找出\(a_i\)，其最高位是\(k\)的最高位，\(a_i‘=a_i⊕k<a_i\)（最高位必可去掉所以肯定成立

那么\(a_i\)替换为\(a_i‘\)可以使异或和为\(0\)，记原式为\(Xor\),因为取出了\(a_i\),加入了\(a_i⊕k\)，所以\(Xor⊕a_i⊕a_i⊕k=k⊕k=0\)

3.P无法移动到P

当前局面\(a_1⊕a_2⊕...a_n=0\)，若要移动\(a_i\)到\(a_i‘\)使得原式变为\(0\)，既\(a_i⊕a_i‘=0\)，显然两者只能相等，而这是非法操作

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