uva11426 gcd、欧拉函数

题意：给出N，求所有满足i<j<=N的gcd(i,j)之和

这题去年做过一次。。。

设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+......+gcd(n-1,n)，那么answer=S[N]=f(1)+f(2)+...+f(N)。

先求出每一个f(n)。

令g(n,i)=【满足gcd(x,n)=i且x<N的x的数量】，i是n的约数

那么f(n)=sigma【i*g(n,i)】　　（i即gcd的值，g(n,i)为数量）

又注意到gcd(x,n)=i -> gcd(x/i,n/i)=1 -> x/i与n/i互质 -> 满足该条件的x/i有phi(n/i)个

那么再用欧拉函数就可以求出每一个f(n)啦~

如果找n的每一个约数i会有点慢，可以枚举i，令n=2*i，3*i，........（n是i的所有倍数且小于MAXN）

for (int i=1;i<=MX;i++)
　　for (int n=i*2;n<=MX;n+=i)
　　　　f[n]=f[n]+(i*phi[n/i]);

粗体部分的思想很常用，已加入数论模板豪华午餐╮(╯▽╰)╭

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 //using namespace std;
 4 #define MX 4000005
 5 #define LL long long
 6
 7 LL phi[MX],f[MX],S[MX];
 8 int N;
 9
10 void calc_phi(int n)
11 {
12     for (int i=2;i<=n;i++)
13         phi[i]=0;
14     phi[1]=1;
15     for (int i=2;i<=n;i++)
16         if (!phi[i])
17             for (int j=i;j<=n;j+=i)
18             {
19                 if (!phi[j])    phi[j]=j;
20                 phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
21             }
22 }
23
24 int main()
25 {
26     calc_phi(MX);
27
28     memset(f,0,sizeof(f));
29     for (int i=1;i<=MX;i++)
30         for (int n=i*2;n<=MX;n+=i)
31             f[n]=f[n]+(i*phi[n/i]);
32
33     S[2]=f[2];
34     for (int i=3;i<=MX;i++)
35         S[i]=S[i-1]+f[i];
36
37     while(~scanf("%d",&N))
38     {
39         if (N==0)   break;
40         printf("%lld\n",S[N]);
41     }
42
43     return 0;
44 }