poj3109树状数组+扫描线

题意：无限大的棋盘上，在横向和纵向上被包围的白子会变成黑子，求最终黑子个数？

分析：

首先这个棋盘十分的大，但已给黑点的个数为1e5，我们需要离散化，所谓的离散化就是数组下标的重新定义。

这里给出离散化函数，返回的是离散化后数组的个数

 1 int compress(int *p,int N)
 2 {
 3     vector<int> ps(N);
 4     for (int i = 0; i < N; ++i)ps[i] = p[i];
 5     sort(ps.begin(), ps.end());
 6     ps.erase(unique(ps.begin(), ps.end()), ps.end());
 7     for (int i = 0; i < N; ++i)
 8     {
 9         p[i] = 1 + distance(ps.begin(), lower_bound(ps.begin(), ps.end(), p[i]));
10     }
11     return ps.size();
12 }

扫描线算法：

扫描线算法其实是计算机几何里面的算法,这里引用

基本思想

按扫描线顺序，计算扫描线与多边形的相交区间，再用要求的颜色显示这些区间的象素，即完成填充工作。

对于一条扫描线填充过程可以分为四个步骤：

(1)  求交：计算扫描线与多边形各边的交点

(2)  排序：把所有交点按 x 坐标递增顺序来排序

(3)  配对：确定扫描线与多边形的相交区间，第一个与第二个，第三个与第四个等等，每对交点代表扫描线与多边形的一个相交区间

(4)  填充：显示相交区间的象素

那么对于这道题目来说我们如何使用？

首先构造扫描线，这里使用Y轴，X轴其实一样的

对于每一条扫描线上的点按x坐标排序，然后得到n个区间，我们需要统计在这个区间里面有多少白色的点可以变为黑点

条件是上下都被黑点包围(左右已经符合)

如何判断上下有没有黑点呢？这里巧妙的使用了一个bool数组used，used[i]表示x=i这条竖线上是否已经出现过黑点

由于扫描线算法中扫描线是按y从小到大枚举的，所以如果之前有出现过黑点，加上当前扫描的点也是黑点，那么这个区间一定是被黑点包围的。

现在来处理区间统计问题，这是树状数组的强项。(区间加减+区间求和)

实际上这里只用到了区间加减+单点查询，都差不多

现在给出算法:

首先离散化，然后构造扫描线。

接着按y从小到大枚举扫描线，对于每条扫描线的点按x从小到大排序，遍历所有的点可以得到n个区间[a[i-1],a[i]]

对于区间[a[i-1],a[i]],当前遍历到a[i]，如果竖轴x=a[i]上used[x]=true 那么需要将答案加上当前竖轴上区间的白点个数query(x,x),否认设置used[x]=true(因为当前遍历的就是黑点),计算完该区间以后一定要记得将该区间的树状数组清掉，因为树状数组维护的区间和，如果不清会导致重复计算(两条扫描线之间的点),

至于更新的话很简单，就是把区间（a[i-1],a[i]）都加上1,因为区间中都是满足左右被黑点包围的白点。（注意不要越界）

最后上代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <set>
 5 #include <algorithm>
 6 #include <map>
 7 #include <queue>
 8 #include<cmath>
 9 #include<vector>
10 #define maxn 100000
11 #define maxm 100010
12 #define mod 1000000000000000000
13 #define INF 0x3f3f3f3f
14 using namespace std;
15 typedef long long  ll;
16 inline int lowbit(int x){
17     return x&-x;
18 }
19 struct BIT{
20     int n;
21     ll bit[maxn+10],bit2[maxn+10];
22     void init(int N){//建立bit
23         n=N;
24         memset(bit,0,sizeof(bit));
25         memset(bit2,0,sizeof(bit2));
26     }
27     void add(ll *t,int x,ll v){//单点加减
28         for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))t[i]+=v;
29     }
30     ll sum(ll *t,int x){//[1,x]前缀和
31         ll ans=0;
32         for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))ans+=t[i];
33         return ans;
34     }
35     void update(int l,int r,ll k){//区间加减
36         add(bit,l,k);
37         add(bit,r+1,-k);
38         add(bit2,l,k*l);
39         add(bit2,r+1,-k*(r+1));
40     }
41     ll getsum(int x){
42         return sum(bit,x)*(x+1)-sum(bit2,x);
43     }
44     ll query(int l,int r){//区间求和
45         return getsum(r)-getsum(l-1);
46     }
47 }T;
48 int X[maxn],Y[maxn];
49 int compress(int *p,int N)
50 {
51     vector<int> ps(N);
52     for (int i = 0; i < N; ++i)ps[i] = p[i];
53     sort(ps.begin(), ps.end());
54     ps.erase(unique(ps.begin(), ps.end()), ps.end());
55     for (int i = 0; i < N; ++i)
56     {
57         p[i] = 1 + distance(ps.begin(), lower_bound(ps.begin(), ps.end(), p[i]));
58     }
59     return ps.size();
60 }
61 bool used[maxn];
62 vector<int>line[maxn];//扫描线
63 int main (){
64     int n;
65     while(scanf("%d",&n)!=EOF){
66         T.init(maxn);
67         memset(used,false,sizeof(used));
68         for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d%d",&X[i],&Y[i]);
69         int w = compress(X,n);
70         int h = compress(Y,n);
71         for(int i=0;i<n;++i){
72             line[Y[i]].push_back(X[i]);
73         }
74         ll ans =n;
75         for(int i = 1;i<=h;++i){
76             vector<int>&v = line[i];
77             sort(v.begin(),v.end());
78             for(vector<int>::iterator j = v.begin();j!=v.end();++j){
79                 int x = *j;
80                 ll s = T.query(x,x);
81                 if(used[x])ans+=s;
82                 else used[x]=true;
83                 T.update(x,x,-s);
84                 if(j!=v.end()-1)T.update(x+1,*(j+1)-1,1);
85             }
86         }
87         printf("%lld\n",ans);
88     }
89 }

poj3109树状数组+扫描线