一、回溯法
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中按照深度优先的策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一节点时，总是先判断该节点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该节点为根的子树的系统搜索，逐层向其原先节点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：
· 针对所给问题，定义问题的解空间；
· 确定易于搜索的解空间结构；
· 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
二、01背包问题描述
01背包问题，即向容量为M的背包装载物品，要么放入要么不放入。从n个物品中选取装入背包的物品，物品i的重量为Wi，价值为Pi。最佳装载指装入的物品价值最高，即∑PiXi(i=1..n)取最大值。约束条件为∑WiXi≤M且Xi∈[0,1](1≤i≤n)。
在这个表达式中，需求出Xi的值。Xi=1表示物品i装入背包，Xi＝0表示物品i不装入背包。
· 即判断可行解的约束条件是：∑WiXi≤M（i=0..n），Wi>0,Xi∈[0,1](1≤i≤n)
· 目标最大值：max∑PiXi（i=0..n-1）,Pi>0,Xi=0或1（0≤i<n）
0/1背包问题是一个自己选取问题，适合于用子集树表示0／1背包问题的解空间。在搜索解空间树时，只要左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树，在右子树中有可能包含最优解才进入右子树搜索，否则将右子树剪去。
三、关于剪枝函数
设当前剩余物品价值总和为r，当前结点x价值为cp，当前x结点上界函数值为bp。L为当前已搜索到的答案结点中受益的最大值，当cp+r=bp<L时可剪去以X为根的子树。
计算右子树中解上界方法是将剩余物品按单位重量价值排序，一次放入物品直至装不下为止，再装入部分未装入物品直至装满背包，由此得到的价值是右子树解上界。
四、递归实现
如下图1所示为01背包问题递归实现的示意图，图2是01背包问题递归实现的流程图，描述了代码实现方案。
图1 01背包问题递归描述图 图2 01背包问题递归实现流程图
图1比较容易理解，是否已拿完物品也就是i<n(i是当前物品序号，n是物品总数目)是否成立，如果成立则递归结束并打印输出路径。如果i<n则判断第i个物品能否放入背包，如果不能放入，则考虑放置i+1个物品，如果能放入还存在当前第i个放入和不放入两种情形后对第i+1个的影响。注意在“放入还是不放入”的部分可考虑加入剪枝函数。
五、递归的代码实现
代码1 Main函数测试代码：
public static void Main (string[] args)
{
Obj[] objs = new Obj[4];
objs[0] = new Obj() { Weight = 7, Price = 42 };
objs[1] = new Obj() { Weight = 3, Price = 12 };
objs[2] = new Obj() { Weight = 4, Price = 40 };
objs[3] = new Obj() { Weight = 5, Price = 25 };
Backtracking_Recursion1 r = new Backtracking_Recursion1();
r.W = 10;
r.objs = objs;
r.Backtracking(0);
Console.Read();
}
代码2Obj物品代码
public class Obj
{
/// <summary>
/// 物品重量
/// </summary>
public int Weight
{
get;
set;
}
/// <summary>
/// 物品价值
/// </summary>
public int Price
{
get;
set;
}
/// <summary>
/// 该物品是否放入包内
/// </summary>
internal bool Selected
{
get;
set;
}
}
代码3递归实现01背包问题
class Backtracking_Recursion1
{
#region field
protected int m_currentWeight = 0;
protected int m_currentPrice = 0;
#endregion
#region property
/// <summary>
/// 背包容量
/// </summary>
/// <value>默认20</value>
public int W
{
get;
set;
}
public int n
{
get
{
return objs == null ? 0 : objs.Length;
}
}
/// <summary>
/// 物品，包括重量／价值和数量
/// </summary>
/// <value>The objects.</value>
public Obj[] objs
{
get;
set;
}
#endregion
public void Backtracking(int i)
{
if (i >= n)
{
Printing();
return;
}
if (objs[i].Weight + m_currentWeight <= W)
{
m_currentWeight += objs[i].Weight;
m_currentPrice += objs[i].Price;
objs[i].Selected = true;
Backtracking(i + 1);
m_currentPrice -= objs[i].Price;
m_currentWeight -= objs[i].Weight;
}
objs[i].Selected = false;
Backtracking(i + 1);
}
/// <summary>
/// 输出路径
/// </summary>
protected void Printing()
{
Console.Write("<");
for (int i = 0; i < objs.Length; i++)
{
Console.Write(objs[i].Selected ? "1 " : "0 ");
}
Console.WriteLine(">, price: " + m_currentPrice.ToString()
+ "\t weight: " + m_currentWeight.ToString());
}
}
六运行结果
注：
1 代码3中Printing()函数调用后可判断并记录最优路径；
2 下文将讲述01背包问题回溯法的顺序执行方法，并通过模板模式整合两种不同的实现方案。
回溯法-01背包问题之一：递归模式,布布扣,bubuko.com