·读书笔记」 具体数学

头脑一热，然后买了《具体数学》，差点还买了英文版后来觉得自己英文太烂，还是决定购买的中文版书是前几天到的，从2014.8.1号开始看，坚持每天看一点，学习一点.为了监督自己，决定在这里开一贴，记录我的学习路程。

时间:2014.8.1  地点:家里

今天阅读的是本书的第一章，讲的是递归问题，也是算法的基础，当然这里主要讲的是数学。但是没办法，我是一名ACMer，必须要和程序紧密联系在一起。我觉得明天还需要花一天时间来看这章，需要解决下后面的习题以及再加深点体会。

第一章 递归问题

1.1 汉诺塔1.2 平面上的直线1.3 约瑟夫问题

这里我重点看的是约瑟夫问题，，我想这个问题不用我多说了，基本上学过点数学或者是学过的算法的都知道.最原始的Josephus传说，是计算到最后存活的两个人(Josephus 和 他的朋友)而我们现在考虑的约瑟夫环问题，一般是考虑最后存活下来的人。约瑟夫问题首先给定N，N代表人数，然后给定K，代表每轮K个人，将其杀死。当然还有扩展，给定N，然后指定一个人开始计算，每个人有自己独立的Ki讨论一: N给定，K=2   J(n)代表N = n 时，最后幸存的人的编号 这是书上讨论的，具体的话可以最终推出一个公式 J(2^m + l) = 2*l + 1所以解决这类问题可以达到O(1)的复杂度讨论二: N给定，K给定解决这个问题(包括解决讨论一)，都可以用模拟的方法，既可以用数组来模拟，也可以用循环链表来模拟但是时间复杂度为O(N*K)这里学习到了另外一个O(N)的数学解法。就是反向逆推。

具体数学上介绍并且推导了 k = 2 时候的约瑟夫环问题
当然还有当人数为K = M时的情况。
这里我们得到递推公式

假设 k = 3,N = 9，W = 0
第一个被杀的坑定是3(也就是k) W = 3
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9         N 4 5 6 7 8 9 1 2
V S S X S S S S S S         V S S X S S S S S 

N 7 8 9 1 2 4 5             N 1 2 4 5 7 8
V S S X S S S S             V S S X S S S

N 5 7 8 1 2                 N 1 2 5 7
V S S X S S　　　　          V S S X S

N 7 1 2                     N 7 1
V S S X                     V X S

N 1
V S

再来考虑一般的情况

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9         N 4 5 6 7 8 9 1 2
V S S X S S S S S S         V S S X S S S S S
第一次数值4的下标W1 = 3 (W从0开始)
第二次数值4的下标W2 = 0 W1 = ( W2 + 3 ) % 9 = (0 + 3) % 9 = 3  也就是W1 = ( W2 + k ) % N
第三次数值4的下标W3 = 5 W2 = ( W3 + 3)  % 8 = (5 + 3) % 8 = 0  也就是W2 = ( W3 + k ) % (N-1)
这就是一般情况，相邻的两个相同数的下标关系
最后一次，只剩下没有被杀的幸存者，下标必然是0
那么这里就可以考虑往前推了(从后往前推)
核心算法： int ans=0;　　//存活人最后的序号W为0
for(i=2;i<=n;i++) ans = (ans+k)%i;
因为题目是下标为1开始，所以最后答案 +　1 即可

O(N)算法

理论联系实际，我做了几道和约瑟夫环有关系的题目，具体可以参看 暑期刷题

POJ 1781 - In Danger    ( K = 2)HDU 2925 - Musical Chair  ( 给定其他k )UVA 133 -  the Dole Queue  ( 双向模拟 )先总结到这里，以后有做题目或者新的体会一定会继续补充。对于平面上的直线问题，高中的时候大家肯定学过。就是问N条直线最多能把平面分成几块区域

这里想谈谈本章需要重点体会的证明方法--数学归纳法 ( 我只是想强调数学归纳法很重要 )

对的，就是我们高中学习的数学归纳法，非常有用
对于一个定理或者公式的证明，一般有反证法和数学归纳法
今天第一天看着本书，果断绝地数学归纳法确实NB强大V587

这里我直接引用Wiki：
最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。
证明分下面两步：
骨牌一个接一个倒下，就如同一个值到下一个值的过程。

    证明当n = 1时命题成立。
    证明如果在n = m时命题成立，那么可以推导出在n = m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）

这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

    证明第一张骨牌会倒。
    证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下

数学归纳法

这点我也想强调很重要
找规律的题目或者是需要证明公式的题目，甚至说任何题目
都需要先从小的情形开始。
比如平面上的直线，就应该从0,1,2这样的小数字开始考虑并推断

先研究小的情形

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