一、算法介绍
Kruskal算法是一种用来查找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪心算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal 算法在图中存在相同权值的边时也有效。最小生成树是一副连通加权无向图中一棵权值最小的生成树（minimum spanning tree，简称MST）。生成树的权重是赋予生成树的每条边的权重之和。最小生成树具有 (V – 1) 个边，其中 V 是给定图中的顶点数。关于最小生成树，它可以应用在网络设计、NP难题之类的问题，还可以用于聚类分析，还可以间接应用于其他问题。
二、Kruskal算法查找MST的步骤
- 按权重的顺序方式来对所有边进行排序。
- 选择权重最小的边。检查它是否与形成的生成树形成一个循环。如果未形成循环，则包括该边。否则，将其丢弃。
- 重复步骤2，直到生成树中有（V-1）个边。
这个算法是贪婪算法。“贪婪的选择”是选择迄今为止不会造成MST成环的最小的权重边。下面来一个例子来理解：
该图包含9个顶点（V）和14个边（E）。因此，形成的最小生成树将具有（9 – 1）= 8 个边。
步骤1：每条边按顺序来排序
1 /** 2 * 排序后： 3 * 权重-src-dest 4 * 1 6 7 5 * 2 2 8 6 * 2 5 6 7 * 4 0 1 8 * 4 2 5 9 * 6 6 8 10 * 7 2 3 11 * 7 7 8 12 * 8 0 7 13 * 8 1 2 14 * 9 3 4 15 * 10 4 5 16 * 11 1 7 17 * 14 3 5 18 */
步骤2+步骤3：：利用按权重排好序的边数组，每次选取最小边，并检测是否成环。MST不能有环，所以这里涉及一个并查集的概念，并查集是对这个 Kruskal 算法进行优化的。
1）数组中一个接一个地选取所有边。选取边6-7：不形成循环，将其包括在内。
2）选取边2-8：不形成循环，将其包括在内。
3）选取边5-6：不形成循环，将其包括在内。
4）选取边0-1：不形成循环，将其包括在内。
5）选取边2-5：不形成循环，将其包括在内。
6）选取边6-8：由于包括该边会导致成环，因此将其丢弃。
7）选取边2-3：不形成循环，将其包括在内。
8）选取边7-8：由于包括该边会导致循环，因此请将其丢弃。
9）选取边0-7：不形成循环，将其包括在内。
10）选取边1-2：由于包括该边会导致循环，因此请将其丢弃。
11）选取边3-4：不形成循环，将其包括在内。
由于包含的边数等于（V – 1），因此算法结束。
三、算法代码
并查集：
在计算机科学中，并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不交集（Disjoint Sets）的合并及查询问题。有一个联合-查找算法（union-find algorithm）定义了两个用于此数据结构的操作：
Find：确定元素属于哪一个子集。它可以被用来确定两个元素是否属于同一子集。Union：将两个子集合并成同一个集合。
并查集树是一种将每一个集合以树表示的数据结构，其中每一个节点保存着到它的父节点的引用。
在并查集树中，每个集合的代表即是集合的根节点。“查找”根据其父节点的引用向根行进直到到底树根。“联合”将两棵树合并到一起，这通过将一棵树的根连接到另一棵树的根。实现这样操作的一种方法是：
查找元素 i 的集合，根据其父节点的引用向根行进直到到底树根：
1 private int find(Subset[] subsets, int i) {
2 if (subsets[i].parent != i)
3 subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent); // 路径压缩，找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面
4 return subsets[i].parent;
5 }
将两组不相交集合 x 和 y 进行并集，找到其中一个子集最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个子集的最久远的祖先的父亲指向它：
1 public void union(Subset[] subsets, int x, int y) {
2 int xroot = find(subsets, x);
3 int yroot = find(subsets, y);
4
5 /* 在高秩树的根下附加秩低树（按秩划分合并） */
6 if (subsets[xroot].rank < subsets[yroot].rank) {
7 subsets[xroot].parent = yroot;
8 } else if (subsets[xroot].rank > subsets[yroot].rank){
9 subsets[yroot].parent = xroot;
10 } else { // 当两棵秩同为r的树联合(作并集)时，它们的秩r+1
11 subsets[yroot].parent = xroot;
12 subsets[xroot].rank++;
13 }
14 }
同时使用路径压缩、按秩（rank）合并优化的程序每个操作的平均时间仅为 O(α (n))，其中α (n) 是 n=f(x)=A(x, x) 的反函数，A 是急速增加的阿克曼函数。因为 α(n) 是其反函数，故 α (n) 在 n 十分巨大时还是小于 5。因此，平均运行时间是一个极小的常数。实际上，这是渐近最优算法。
Kruskal算法
使用算法的思想来构造MST。
1 /**
2 * 使用Kruskal算法构造MST
3 */
4 public void kruskalMST() {
5 Edge[] result = new Edge[V]; // 将存储生成的MST
6 int e = 0; // 用于result[]的索引变量
7 int i = 0; // 用于排序的边缘索引变量
8 for (i = 0; i < V; ++i) {
9 result[i] = new Edge();
10 }
11
12 /* 步骤一：对点到点的边的权重进行排序 */
13 Arrays.sort(edges);
14
15 /* 创建V个子集*/
16 Subset[] subsets = new Subset[V];
17 for (i = 0; i < V; i++) {
18 subsets[i] = new Subset();
19 }
20
21 /* 使用单个元素创建V子集 */
22 for (int v = 0; v < V; v++) {
23 subsets[v].parent = v;
24 subsets[v].rank = 0; // 单元素的树的秩定义为0
25 }
26
27 /* 用于挑选下一个边的索引 */
28 i = 0;
29
30 while (e < V-1) {
31 /* 步骤2：选取最小的边缘, 并增加下一次迭代的索引 */
32 Edge next_edge = edges[i++];
33
34 int x = find(subsets, next_edge.src);
35 int y = find(subsets, next_edge.dest);
36
37 /* 如果包括此边不引起mst成环（树本无环），则将其包括在结果中并为下一个边增加结果索引存下一条边 */
38 /* 这里判断两个元素是否属于一个子集 */
39 if (x != y) {
40 result[e++] = next_edge;
41 union(subsets, x, y);
42 }
43 /* 否则丢弃next_edge */
44 }
45
46 /* 打印result[]的内容以显示里面所构造的MST */
47 System.out.println("Following are the edges in the constructed MST");
48 for (i = 0; i < e; ++i) {
49 System.out.println(result[i].src + " -- " + result[i].dest + " == " + result[i].weight);
50 }
51 }
平均时间复杂度为O (|E|·log |V|)，其中 E 和 V 分别是图的边集和点集。
本文源代码：
1 package algorithm.mst;
2
3 import java.util.Arrays;
4
5 public class KruskalAlgorithm {
6 /* 顶点数和边数 */
7 private int V, E;
8 /* 所有边的集合 */
9 private Edge[] edges;
10
11 /**
12 * 创建一个V个顶点和E条边的图
13 *
14 * @param v
15 * @param e
16 */
17 public KruskalAlgorithm(int v, int e) {
18 V = v;
19 E = e;
20 edges = new Edge[E];
21 for (int i = 0; i < e; i++) {
22 edges[i] = new Edge();
23 }
24 }
25
26 /**
27 * 查找元素i的集合（路径压缩）
28 * 根据其父节点的引用向根行进直到到底树根
29 *
30 * @param subsets
31 * @param i
32 * @return
33 */
34 private int find(Subset[] subsets, int i) {
35 if (subsets[i].parent != i)
36 subsets[i].parent = find(subsets, subsets[i].parent); // 路径压缩，找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面
37 return subsets[i].parent;
38 }
39
40 /**
41 * 将两组不相交集合x和y进行并集（按秩合并）
42 * 这个方法找到其中一个子集最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个子集的最久远的祖先的父亲指向它。
43 * <p>
44 * 并查集树的最基础的表示方法，这个方法不会比链表法好，
45 * 这是因为创建的树可能会严重不平衡。
46 * 所以采用“按秩合并”来优化。
47 * </p>
48 * <p>
49 * 即总是将更小的树连接至更大的树上。因为影响运行时间的是树的深度，
50 * 更小的树添加到更深的树的根上将不会增加秩除非它们的秩相同。
51 * 在这个算法中，术语“秩”替代了“深度”，因为同时应用了路径压缩时秩将不会与高度相同。
52 * </p>
53 *
54 * @param subsets
55 * @param x
56 * @param y
57 */
58 public void union(Subset[] subsets, int x, int y) {
59 int xroot = find(subsets, x);
60 int yroot = find(subsets, y);
61
62 /* 在高秩树的根下附加秩低树（按秩划分合并） */
63 if (subsets[xroot].rank < subsets[yroot].rank) {
64 subsets[xroot].parent = yroot;
65 } else if (subsets[xroot].rank > subsets[yroot].rank){
66 subsets[yroot].parent = xroot;
67 } else { // 当两棵秩同为r的树联合(作并集)时，它们的秩r+1
68 subsets[yroot].parent = xroot;
69 subsets[xroot].rank++;
70 }
71 }
72
73 /**
74 * 使用Kruskal算法构造MST
75 */
76 public void kruskalMST() {
77 Edge[] result = new Edge[V]; // 将存储生成的MST
78 int e = 0; // 用于result[]的索引变量
79 int i = 0; // 用于排序的边缘索引变量
80 for (i = 0; i < V; ++i) {
81 result[i] = new Edge();
82 }
83
84 /* 步骤一：对点到点的边的权重进行排序 */
85 Arrays.sort(edges);
86
87 /* 创建V个子集*/
88 Subset[] subsets = new Subset[V];
89 for (i = 0; i < V; i++) {
90 subsets[i] = new Subset();
91 }
92
93 /* 使用单个元素创建V子集 */
94 for (int v = 0; v < V; v++) {
95 subsets[v].parent = v;
96 subsets[v].rank = 0; // 单元素的树的秩定义为0
97 }
98
99 /* 用于挑选下一个边的索引 */
100 i = 0;
101
102 while (e < V-1) {
103 /* 步骤2：选取最小的边缘, 并增加下一次迭代的索引 */
104 Edge next_edge = edges[i++];
105
106 int x = find(subsets, next_edge.src);
107 int y = find(subsets, next_edge.dest);
108
109 /* 如果包括此边不引起mst成环（树本无环），则将其包括在结果中并为下一个边增加结果索引存下一条边 */
110 /* 这里判断两个元素是否属于一个子集 */
111 if (x != y) {
112 result[e++] = next_edge;
113 union(subsets, x, y);
114 }
115 /* 否则丢弃next_edge */
116 }
117
118 /* 打印result[]的内容以显示里面所构造的MST */
119 System.out.println("Following are the edges in the constructed MST");
120 for (i = 0; i < e; ++i) {
121 System.out.println(result[i].src + " -- " + result[i].dest + " == " + result[i].weight);
122 }
123 }
124
125 public static void main(String[] args) {
126 /**
127 * 排序后：
128 * 权重-src-dest
129 * 1 6 7
130 * 2 2 8
131 * 2 5 6
132 * 4 0 1
133 * 4 2 5
134 * 6 6 8
135 * 7 2 3
136 * 7 7 8
137 * 8 0 7
138 * 8 1 2
139 * 9 3 4
140 * 10 4 5
141 * 11 1 7
142 * 14 3 5
143 */
144 int V = 9;
145 int E = 14;
146 KruskalAlgorithm graph = new KruskalAlgorithm(V, E);
147
148 /* 另一个用例的图:
149 1 --- 2 --- 3
150 / | | \ | 151 0 | 8 \ | 4
152 \ | / | \ | /
153 7 --- 6 --- 5
154 */
155
156 // 添加边 0-1
157 graph.edges[0].src = 0;
158 graph.edges[0].dest = 1;
159 graph.edges[0].weight = 4;
160
161 // 添加边 0-7
162 graph.edges[1].src = 0;
163 graph.edges[1].dest = 7;
164 graph.edges[1].weight = 8;
165
166 // 添加边 1-2
167 graph.edges[2].src = 1;
168 graph.edges[2].dest = 2;
169 graph.edges[2].weight = 8;
170
171 // 添加边 1-7
172 graph.edges[3].src = 1;
173 graph.edges[3].dest = 7;
174 graph.edges[3].weight = 11;
175
176 // 添加边 2-3
177 graph.edges[4].src = 2;
178 graph.edges[4].dest = 3;
179 graph.edges[4].weight = 7;
180
181 // 添加边 2-5
182 graph.edges[5].src = 2;
183 graph.edges[5].dest = 5;
184 graph.edges[5].weight = 4;
185
186 // 添加边 2-8
187 graph.edges[6].src = 2;
188 graph.edges[6].dest = 8;
189 graph.edges[6].weight = 2;
190
191 // 添加边 3-4
192 graph.edges[7].src = 3;
193 graph.edges[7].dest = 4;
194 graph.edges[7].weight = 9;
195
196 // 添加边 3-5
197 graph.edges[8].src = 3;
198 graph.edges[8].dest = 5;
199 graph.edges[8].weight = 14;
200
201 // 添加边 4-5
202 graph.edges[9].src = 4;
203 graph.edges[9].dest = 5;
204 graph.edges[9].weight = 10;
205
206 // 添加边 5-6
207 graph.edges[10].src = 5;
208 graph.edges[10].dest = 6;
209 graph.edges[10].weight = 2;
210
211 // 添加边 6-7
212 graph.edges[11].src = 6;
213 graph.edges[11].dest = 7;
214 graph.edges[11].weight = 1;
215
216 // 添加边 6-8
217 graph.edges[12].src = 6;
218 graph.edges[12].dest = 8;
219 graph.edges[12].weight = 6;
220
221 // 添加边 7-8
222 graph.edges[13].src = 7;
223 graph.edges[13].dest = 8;
224 graph.edges[13].weight = 7;
225
226 graph.kruskalMST();
227
228 /* 用例通过算法得出的MST如下:
229 1 2 -- 3
230 / | \ 231 0 8 \ 4
232 \ 233 7 -- 6 -- 5
234 */
235 }
236
237 /**
238 * 每条边的信息，实现了{@link Comparable}接口,
239 * 可以使用{@link Arrays}的方法随其边的权重的集合进行自然排序。
240 */
241 class Edge implements Comparable<Edge> {
242 /* 这条边的两个顶点和它的权重 */
243 private int src, dest, weight;
244
245 @Override
246 public int compareTo(Edge o) {
247 return this.weight - o.weight;
248 }
249 }
250
251 /**
252 * 联合查找子集的类
253 */
254 class Subset {
255 /* 其祖先和秩 */
256 private int parent, rank;
257 }
258 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/magic-sea/p/11954514.html
时间： 2024-10-14 13:28:40