关系数据理论

　　本文为复习数据库整理的资料。

　　参考：

　　https://blog.csdn.net/prdslf001001/article/details/80336835

　　https://www.bilibili.com/video/av73467859/

　　https://www.bilibili.com/video/BV1eE411a79r/

一、数据冗余导致的问题

　　1）冗余存储：信息被重复存储，导致浪费大量存储空间。

　　2）更新异常：当重复的信息的一个副本被修改，所有副本都必须进行同样的修改。因此当更新数据时，系统要付出很大的代价来维护数据库的完整性，否则会面临数据不一致的风险。

　　3）插入异常：只有当一些信息事先已经存放在数据库中时，另外一些信息才能存入数据库中。

　　4）删除异常：删除某些信息时可能丢失其他信息。

二、函数依赖定义

　　1、函数依赖

　　在关系R中，若属性或者属性集 A 中 两个元组的值相等，如果这两个元祖中对应的属性或者属性集B中的值也相同，则记作A—>B。 A函数决定B； 或者 B函数依赖于A。

　　2、平凡与非平凡函数依赖

　　对于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义。若不特别声明，总是讨论非平凡函数依赖。

　　3、完全函数依赖和部分函数依赖

　　完全函数依赖：（学号,课号）——>成绩;   单独一个学号，不能决定成绩，单独一个课程，也不能决定成绩；只有二者同时，才能决定；

　　部分函数依赖：（学号,课号）——>姓名；学号和课号能决定姓名, 单独一个 学号 也能决定 姓名；

　　4、传递函数依赖

　　学号—>系号，系号—>系主任;       系主任   传递依赖于  学号

三、函数依赖理论

　　1、码、超码、候选码和主码

　　码是一个或多个属性的集合。

　　超码是一个或多个属性的集合，超码中的这些属性可以让我们在一个实体集中唯一地标识一个实体。

　　候选码是极小的超码集，也就是它的任意真子集都不是超码，而他本身是超码。

　　主码是被选中用来在一个关系中区分不同元组的候选码。

　　候选码的确定：

　　设关系模式R中U=ABC.......等N个属性，U中的属性在FD中有四种范围：

　　(1)左右出现;
　　(2)只在左部出现;
　　(3)只在右部出现;
　　(4)不在左右出现;

　　算法：按以下步骤求候选键：
　　1.只在FD右部出现的属性，不属于候选码;
　　2.只在FD左部出现的属性，一定存在于某候选码当中;
　　3.外部属性一定存在于任何候选码当中;  (左右都不出现)

　　4.其他属性逐个与2,3的属性组合，求属性闭包，直至X的闭包等于U,若等于U,则X为候选码。

　　例1：R<U,F>,U=(A,B,C,D,E,G),F={AB-->C,CD-->E,E-->A.A-->G},求候选码以及主属性。

　　因为：G只在右边出现，所以候选码肯定不包含G，BD只出现在左边，所以，候选码中肯定有BD，而BD的闭包还是BD，则对BD进行组合,除了G以外,BD可以跟A,C,E进行组合。

　　先看ABD
  　　ABD本身自包ABD,而AB-->C,CD-->E,A-->G,所以ABD的闭包为ABDCEG=U
 　　 再看BDC
　　  CD-->E,E-->A,A-->G,BDC本身自包,所以BDC的闭包为BDCEAG=U
 　　 最后看BDE
　　  E-->A,A-->G,AB-->C,BDE本身自包,所以BDE的闭包为BDEAGC=U

　　因为(ABD)、(BCD)、(BDE)的闭包都是ABCDEG所以本问题的候选码有3个分别是ABC、BCD和BDE

　　候选码：ABC，BCD，BDE；

　　主属性（主要的属性，能决定其他属性的)：ABCDE;

　　非主属性：G；
　　

　　2、Armstrong 公理系统

　　设关系模式R<U,F>，其中U为属性集，F是U上的一组函数依赖，那么有如下推理规则

　　① A1自反律：若Y⊆X⊆U，则X→Y为F所蕴含；                    即：ABC→AB；   AB——>A (平凡依赖函数)；
　　② A2增广律：若X→Y为F所蕴含，且Z⊆U，则XZ→YZ为F所蕴含；
　　③ A3传递律：若X→Y，Y→Z为F所蕴含，则X→Z为F所蕴含。
　　根据上面三条推理规则，又可推出下面三条推理规则：
　　④ 合并规则：若X→Y，X→Z，则X→YZ为F所蕴含；
　　⑤ 伪传递规则：若X→Y，WY→Z，则XW→Z为F所蕴含；  即：A→B，AC→BC；BC→D ；得出AC→D；
　　⑥ 分解规则：若X→Y，Z⊆Y，则X→Z为F所蕴含。      即：A→BC;  能得出：  A→B，A→C；

　　3、属性集闭包

　　闭包就是由一个属性直接或间接推导出的所有属性的集合。

　　例如：f={a->b，b->c，a->d，e->f}；由a可直接得到b和d，间接得到c，则a的闭包就是{a，b，c，d}；

　　已知关系R(A1，A2，A3，A4，A5，A6)，函数依赖集F为{ (A2，A3)——>A4，A3——>A6，(A2，A5)——>A1 }， 问(A2，A3)关于F的属性闭包为：{A2，A3,A4,A6}；  因为：A2，A3能带到A4，A3能得到A6；

　　已知关系R(A，B，C，D，E，F，G)，函数依赖集F为{ A ——>B，B——>D，AD——>EF，AG——>C}， 问：A关于F的属性闭包为:{A,B,D,E,F}；     因为：A能得到B，B能得到D，AD能得到EF;

　　4、最小函数依赖集（正则覆盖）

　　1、定义：
　　如果函数依赖集F满足以下条件，则称F为一个极小函数依赖集。也称为最小依赖集或最小覆盖。

　　(1)F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。

　　(2)F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价。

　　(3)F中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}U{Z→A}与F等价。

　　2、最小依赖集通用算法：
　　① 用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；

　　② 去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，看X+是否包含Y，若是，则去掉X→Y；否则不能去掉，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖；

　　③ 去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。例如XY→A，若要判Y为多余的，则以X→A代替XY→A是否等价？若A属于(X)+，则Y是多余属性，可以去掉。（以上步骤中，求出关系依赖集F,此时，在F的基础上，求出X或者Y的闭包，是否包含A）

　　3、最小依赖集案例：
　　例1：关系模式R(U，F)中，U=ABCDEG，F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->BC}；求F的最小函数依赖集

　　步骤：

　　（1）用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；得到：F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->B，ADG->C}；

　　（2）去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖；

　　　　① 去掉B->D，此时F={DG->C,BD->E,AG->B,ADG->B，ADG->C}，此条件下得出B的闭包 B+ = B；B+不包含D，所以B->D保留。

　　　　②去掉DG->C，此时F={B->D,BD->E,AG->B,ADG->B，ADG->C}，此时DG闭包DG+ = DG，不包含C,所以不能去掉DG->C.

　　　　③ 去掉BD->E，此时F={B->D，DG->C,AG->B,ADG->B，ADG->C}，此时闭包BD+ = BD,不包含E，所以不能去掉BD->E，继续保留。

　　　　④去掉AG->B，此时F={B->D，DG->C,BD->E,ADG->B，ADG->C}；此时AG+ = AG，不包含B，所以不能去掉AG->B，继续保留。

　　　　⑤去掉ADG->B，此时F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->C}，此时ADG+ = ADGCBE,包含了B，所以删除ADG->B，不保留。

　　　　⑥去掉ADG->C，此时F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B}，此时ADG+ = ADGCBD,包含了C，所以删除ADG->C，不保留。

　　　　综上所得，此时得到F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B}；

　　（3）去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。

　　此时函数依赖左边非单个属性有：DG->C,BD->E,AG->B；所以做如下操作：

　　　　①先来看DG->C，判断 D 是否多余，求 DG - D = G 的闭包，此时G的闭包G+ = G，不包含C，保留D。判断 G 是否多余，求 DG - G = D 的闭包，此时D+ = D，不包含C，所以G也不能去掉；

　　　　②再来看BD->E，判断 B 是否多余，求 BD - B = D 的闭包，此时D的闭包D+ = D，不含E，保留B。判断 D 是否多余，求 BD - D = B 的闭包，此时B+ = BDE，包含了E，所以去掉D。

　　　　③最后再来看 AG->B，判断 A 是否多余，求 AG - A = G 的闭包，G+ = G，不包含B，不能去掉A。判断 G 是否多余，求 AG - G = A 的闭包，A的闭包A+ =A，不含B，不能去掉G，还是AG->B ；

　　所以最后得出：F的最小函数依赖集是：F={B->D，DG->C,B->E,AG->B}；

　　5、无损连接分解　　

　　1）判断表法

　　2）无损连接定理

　　案例（1）：关系模式R（SAIP），F={S—>A,SI—>P};  ρ={R1(SA),R2(SIP)}检测分解是否为无损连接？

　　因为：R1∩R2 = S ；R1—R2 = A； R2—R1 = IP；所以得出：S —>A；或者S —>IP； 而 S —>A 在F={S—>A,SI—>P}中，所以此分解是无损连接。

　　举例（2）：已知R<U,F>，U={A,B,C}，F={A→B}，如下的两个分解：
　　① ρ1={AB,BC}；

　　② ρ2={AB,AC}；

　　因为：AB∩BC = B；AB—BC = A；BC—AB = C；得出；B→A，或者 B→A，两个都不包含在F={A→B}中，所以 ρ1 分解是有损的。

　　因为：AB∩AC = A；AB—AC = B；AC—AB = C；得出：A→B，或者A→C，而A→B包含在F={A→B}中，所以 ρ2 分解是无损的。

　　6、保持依赖分解

　　案例（1）：关系模式R<U, F>，U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{B→A，D→A，A→E，AC→B｝则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝是否满足保持函数依赖。

　　因为：B→A，A→E，AC→B在R1上成立，D→A在R1和R2上都不成立，因此需做进一步判断。

　　由于B→A，A→E，AC→B都是被保持的（因为它们的元素都在R1中），因此我们要进一步判断的是D→A是不是也被保持。

　　①先看R1：因为：result = D；result ∩R1 = ф (空集)；所以：t=ф，result=D；

　　②再看R2：因为：result = D；result ∩R2 = D；D+ = DA; D+ ∩ R2 = D; 所以：t=D，result=D；

　　一个循环后result未发生变化，因此最后result=D，并未包含A，所以D→A未被保持，该分解不是保持依赖的。

　　案例（2）：关系R<U,F>，U={A,B,C,D,E}，F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}，R的一个分解为R1(AD)，R2(AB)，R3(BE)，R4(CDE)，R5(AE)，判断这个分解是否具有函数依赖性。

　　因为：,C→D,DE→C均在R4(CDE)中被保持，而A→C,B→C，CE→A，在R1....R5上都不成立，需要进一步判断。

　　（1）A→C；

　　①先看R1：因为：result = A；result ∩R1 = A ； A+ = ACD ； A+ ∩ R1 = AD；所以：t=AD，result=AD； 此时，result改变，则，进入R2；

　　②再看R2：因为：result = AD；result ∩R2 = ф，最后还是result = AD；

　　③再看R3：因为：result = AD；result ∩R3 = ф，最后还是result = AD；

　　④再看R4：因为：result = AD；result ∩R4 = D，D+ = D; D+ ∩ R4= D；最后还是result = AD；

　　⑤再看R5：因为：result = AD；result ∩R5 = A，最后还是result = AD；

　　7、范式

　　（1）：1NF：每个分量都是不可再分的数据项（值、原子）。即：属性中，不能存在复合属性 或者 多值属性。

　　（2）：2NF：每一个非主属性 完全函数依赖 于 候选键（码）。注意：这里是码（不是主属性）；即：不能存在 非主属性部分函数依赖于码。

　　（3）：3NF：每一个非主属性 都不传递依赖于 码。 即：不能存在非主属性对于码的传递函数依赖。

　　（4）：BCNF：不存在 主属性 对于 码 的 部分函数依赖 与 传递函数依赖。判断方法：箭头左边的必须是候选码（不能只是一个属性，部分码）。
　　判断范式的方法：

　　例1：R（A，B，C），F={A->B, B->A, A->C}

　　　　L ：No，R：C，LR：A，B

　　　　计算A+ = ABC ，A 是候选码

　　　　计算B+ = ABC，B 是候选码

　　　　主属性： A，B ；非主属性： C

　　　　1）看非主属性是否部分依赖于主属性，发现没有部分依赖。

　　　　2）看非主属性是否传递依赖于主属性，发现 B -> A -> C ，C 传递依赖于 B，但这个传递依赖成立的条件是 A -> B 不成立，否则A -> C 推不出来。故没有部分传递依赖。

　　　　3）看所有依赖左边是否全部为候选码，所有依赖左边依次是 A，B，A 全部为 候选码 故为 BCNF 范式。

　　例2：R（A，B，C，D），F={B->D, D->B, AB->C}

　　　　L：A， R：C，LR：B，D

　　　　L 一定为主属性，将 L 和 LR 组合为 AB，AD

　　　　主属性： A，B，D ；非主属性： C

　　　　AB+ = ABCD；AD+ = ABCD；故 AB，AD为候选码。

　　　　1）查看部分依赖。 C 完全依赖于 AB，没有部分依赖。

　　　　2）查看传递依赖。C直接完全依赖于候选码 AB，没有传递依赖。

　　　　3）查看是否全为候选码。所有依赖左边依次是 B，D，AB ，B，D不为 候选码 故为 3NF 范式。

　　8、模式分解

　　3NF 分解：

　　计算最小函数依赖

　　将最小函数依赖依次分解，得到 3NF 保持函数依赖分解。

　　将保持依赖分解添加一个候选码到结果中，得到 3NF 无损连接分解。

　　BCNF 分解：

　　R(A，B，C，D)，F={A->B，C->D}一直找不是候选码的函数依赖项 A->B，将依赖集分解为两部分：

　　1）AB

　　2）ACD (B 可由A 推出)

　　继续分解 ACD。

　　例： R（A，B，C，D，E，F），F={AE->F，A->B, BC->D, CD->A, CE->F}

　　L：C，E

　　R：F

　　LR：A，B，D

　　L 一定为主属性，将 L 和 LR 组合为 ACE，BCE，CDE。

　　主属性： A，B，D ；非主属性： C

　　ACE+ = ABCDEF；BCE+ = ABCDEF；CDE+ = ABCDEF；故ACE，BCE，CDE为候选码。

　　将上面的函数依赖依次分解得到：AEF，AB，BCD，CDA，CEF。

　　得到 3NF 保持函数依赖分解 : AEF，AB，BCD，CDA，CEF

　　任意添加一个候选码进去(这里选 ACE)。

　　得到 3NF 无损连接依赖分解 : AEF，AB，BCD，CDA，CEF，ACE

　　AEF，AB，BCD，CDA，CEF 全部都不是候选码

　　第一次分解 AE->F：

　　AEF， 剩下 R=（ABCDE），F={A->B, BC->D, CD->A} （F可以被导出）

　　第二次分解 A->B：

　　AB，剩下 R=（ACDE）， F={CD->A} （B可以被导出，B 已经不在 R 中了 BC-> D 也就删除了）

　　第三次分解 CD->A：

　　CDA，剩下 R=（CDE）， F={} （A可以被导出）

　　CDE为候选码分解停止。

　　故 BCNF 分解为 AEF，AB，CDA，CDE

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