数理方程：波动方程解法

【方程通式】

\(\large \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\quad\normalsize (0<x<l, t>0)\)

其中\(a\)为正实数。

【典型边界条件】

{两端固定} 第一类齐次边界条件 + 第一类齐次边界条件

\(\large \left. u\right|_{x=0}=0\)

\(\large \left. u\right|_{x=l}=0\)

{一端固定一端开放} 第一类齐次边界条件 + 第二类齐次边界条件

\(\large \left. u\right|_{x=0}=0\)

\(\large \left. \frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=0\)

【解法】

1. 分离变量

由于方程与条件为线性，待求解函数\(u(x,t)\)可以分离变量

\(\large u(x,t)=X(x)T(t)\)

然后就可以将方程两边调整为分别只包含一个自变量的式子，一般写成

\(\large \frac{X’’(x)}{X(x)}=\frac{1}{a^2}\frac{T’’(t)}{T(t)}=-\lambda\)

2.