同余|欧拉定理|费马小定理|扩展欧拉定理|扩展欧几里得算法

同余
- 基本定理
  - 欧拉定理
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- 扩展欧几里得算法

同余

基本定理

欧拉定理

若a,m互质，则
\[
a^{\varphi\left ( m \right )}\equiv 1\left ( mod \ m \right )
\]

应用

令，，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以。计算：，而。与定理结果相符。

计算的个位数，实际是求被10除的余数。7和10互素，且。由欧拉定理知。所以。

费马小定理

若p是质数，则对于任意整数a，都有
\[
a^{p}\equiv a\left ( mod \ p \right )
\]

扩展欧拉定理

\[
a^{b}\ mod \ m,若 b>=\varphi\left ( m \right ),则
\]

\[
a^{b} \equiv a^{b\ mod\ \varphi \left ( m \right )+\varphi\left ( m \right )}\left ( mod \ m \right )
\]

扩展欧几里得算法

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扩展欧几里得算法By Saitoasuka

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时间： 2024-08-25 17:24:14

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【日常学习】乘法逆元&&欧拉定理&&费马小定理&&欧拉函数应用&&常大学霸

转载请注明出处 [ametake版权所有]http://blog.csdn.net/ametake欢迎来看看今天花了一个多小时终于把乘法逆元捣鼓明白了鉴于我拙计的智商抓紧把这些记录下来在此本栏目鸣谢里奥姑娘和热心网友himdd的帮助和支持那么正文开始··· 逆元是干什么的呢? 因为(a/b)mod p ≠(a mod p)/(b mod p) 我们需要想一种方法避免高精那就是把除法转化为乘法因为(a*b) mod p = ( a mod p ) *( b mod p ) 怎么转化呢?

『基础同余和费马小定理』

同余同余是数论中一个重要的概念,若整数$a$与整数$b$除以正整数$m$的余数相等,则称$a$,$b$再模$m$意义下同余,记为$a\equiv b(mod\ m)$或$m|(a-b)$. 同余基础性质 $1.$$a≡a (mod\ m)$,自反性 $2.$若$a≡b (mod\ m)$,则$b≡a (mod\ m)$,对称性 $3.$若$a≡b (mod\ m)$,$b≡c (mod\ m)$,则$a≡c (mod\ m)$

欧拉定理 / 费马小定理证明

主要部分转自百度百科:https://baike.baidu.com/item/欧拉定理内容: 在数论中,欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质.欧拉定理表明,若n,a为正整数,且n,a互质,则: 证明: 将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然,共有φ(n)个数) 我们考虑这么一些数: m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n) (1) 这些数中的任意两个都不模n同余,因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定m

[知识点]费马小定理和欧拉定理

一.定义费马小定理是数论中的一个定理:假如a是一个整数,p是一个质数,那么:a ^ p - a是p的倍数,即: 如果a不是p的倍数,还可以表示为: 二.应用计算2 ^ 100 / 13的余数. 即余数为3. 三.延伸费马小定理本质上是欧拉定理的一种特例. 欧拉定理:假如n和a为正整数,且互素,则: 其中,ψ(n)为欧拉函数. (欧拉函数:ψ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数) 在费马小定理的基础上,欧拉定理可以处理模数非质数的情况,比如: 计算7 ^ 222 / 10的余数.

【Lucas定理/费马小定理/中国剩余定理/扩展欧几里得】[BZOJ 1951] 古代猪文

[Description] 求 [Solution] 容易得到, 所以,重点在怎么求如果是p-1是个质数,我们可以用sqrt(n)的时间枚举所有d,用Lucas定理分别计算求和即可. 但是我们发现p-1=2*3*4679*35617,并不是一个质数,所以Lucas定理不能用了吗?并不,我们可以算出这个合式分别对2.3.4679.35617的模值,写出四个同余方程,再用孙子定理求解即可.注意特判g==p的情况,此时费马小定理不成立,ans=0. [Code] #include<cmath> #

[ACM] hdu 3923 Invoker (Poyla计数，高速幂运算，扩展欧几里得或费马小定理）

Invoker Problem Description On of Vance's favourite hero is Invoker, Kael. As many people knows Kael can control the elements and combine them to invoke a powerful skill. Vance like Kael very much so he changes the map to make Kael more powerful. In

费马小定理&欧拉定理

在p是素数的情况下,对任意整数x都有xp≡x(mod p).这个定理被称作费马小定理其中如果x无法被p整除,我们有xp-1≡1(mod p).利用这条性质,在p是素数的情况下,就很容易求出一个数的逆元.那上面的式子变形之后得到a-1≡ap-2(mod p),因此可以通过快速幂求出逆元. 我们先来证明一下费马小定理: 费马小定理证明: 一.准备知识引理1:剩余系定理2 若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时,有a≡b(mod m) 证明:ac≡b

[ACM] hdu 3923 Invoker (Poyla计数，快速幂运算，扩展欧几里得或费马小定理）

「数论基础」欧拉定理（费马小定理）

在阅读本篇之前,如果还不熟悉欧拉函数,可以参见另一篇介绍欧拉函数的「数论基础」欧拉函数. 定义:对于互质的两个正整数$a, n$,满足$a^{φ(n)} ≡ 1\ (mod\ n)$ 证明: 设集合$S$包含所有$n$以内与$n$互质的数,共有$φ(n)$个: $S = \{ x_1, x_2, ..., x_{φ(n)} \} $ 再设集合$T$: $T = \{ a * x_1 \% n, a * x_2 \% n, ..., a * x_{φ(n)} \% n \} $ 由于$