NAV导航网格寻路（4） -- 生成nav网格

这篇是转的文章，原文http://blianchen.blog.163.com/blog/static/131056299201037102315211/

假设上图是一个游戏地图，红色的区域是不可行走的区域，浅灰色区域是可行走区域，要想在游戏中实现nav寻路，必须将可行走区域转化为nav网格并保存为一种固定形式的数据，如下图浅红色的三角形。

nav网格必须是凸多边形，这里使用三角型，当然也可以使用4边形。下面介绍一种任意多边形的三角化算法。算法来自论文《平面多边形域的快速约束 三角化》作者：曾薇 孟祥旭 杨承磊 杨义军。详细内容请参考该论文。

先来看几个定义：

A. 我们称点 p3 为直线 p1p2 的可见点，其必须满足下面三个条件：

（1） p3 在边 p1p2 的右侧 (顶点顺序为顺时针)；

（2） p3 与 p1 可见，即 p1p3 不与任何一个约束边相交；

（3） p3 与 p2 可见

B. DT点

在一个约束Delaunay三角形中，其中与一条边相对的顶点称为该边的DT点。

确定 DT 点的过程如下：

Step1.  构造 Δp1p2p3 的外接圆 C（p1，p2，p3）及其网格包围盒 B（C（p1，p2，p3））

Step2. 依次访问网格包围盒内的每个网格单元：

对未作当前趟数标记的网格单元进行搜索，并将其标记为当前趟数

若某个网格单元中存在可见点 p, 并且 ∠p1pp2 > ∠p1p3p2，则令 p3=p1，转Step1；否则，转Step3.

Step3.  若当前网格包围盒内所有网格单元都已被标记为当前趟数，也即C（p1，p2，p3）内无可见点，则 p3 为的 p1p2 的 DT 点

生成Delaunay三角网格算法如下：

Step2. 取任意一条外边界边 p1p2 .

Step3.  计算 DT 点 p3，构成约束 Delaunay 三角形 Δp1p2p3 .

Step4. 如果新生成的边 p1p3 不是约束边，若已经在堆栈中，则将其从中删除；否则，将其放入堆栈；类似地，可处理 p3p2 .

Step5. 若堆栈不空，则从中取出一条边，转Step3；否则，算法停止 .

程序实现该算法（AS3语言）

1。数据结构

不难看出，要想实现该算法首先要确定一些基础对象，如点、线、三角型和多边形等对象。（才发现这个blog中竟然没有代码的格式）

二维点的定义 public class Vector2f {}  包括矢量加减、叉积等方法。

线的定义  public class Line2D {} 包括下面方法：

classifyPoint(point:Vector2f, epsilon:Number = 0.000001):int //判断点与直线的关系，假设你站在a点朝向b点， 则输入点与直线的关系分为：Left, Right or Centered on the line

equals(line:Line2D):Boolean //线段是否相等 （忽略方向）

getDirection():Vector2f //直线方向

intersection(other:Line2D, pIntersectPoint:Vector2f = null):int //判断两个直线关系 this line A = x0, y0 and B = x1, y1 other is A = x2, y2 and B = x3, y3

length():Number  //直线长度

signedDistance(point:Vector2f):Number //给定点到直线的带符号距离，从a点朝向b点，右向为正，左向为负

三角型定义 public class Triangle：

getSide(sideIndex:int):Line2D //取得指定索引的边(从0开始，顺时针)

getVertex(i:int):Vector2f //根据i返回顶点

isPointIn(testPoint:Vector2f):Boolean //测试给定点是否在三角型中

setVertex(i:int, point:Vector2f):void //根据i指定的索引设置三角形的顶点 

多边形定义  public class Polygon：

public vertexV : Vector.<Vector2f>   //顶点列表，按顺时针方向排序

cw():void //将多边形的顶点按逆时针排序

isCW():Boolean //将多边形的顶点按顺时针排序

isSimplicity():Boolean //是否是简单多边形

rectangle():Rectangle //返回矩形包围盒  Polygon

union(polygon:Polygon):Vector.<Polygon> //合并两个多边形(Weiler-Athenton算法) 

三角化的完整代码，注释比较全，就不再详细解释了

/*
* @author 白连忱
* date Jan 22, 2010
*/
package org.blch.geom
{
    import flash.display.Sprite;
    import flash.geom.Rectangle;
    import flash.text.TextField;
    import flash.text.TextFieldAutoSize;
    import flash.text.TextFormat;

    /**
     * Delaunay
     * @langversion ActionScript 3.0
     * @playerversion Flash 10.0
     */
    public class Delaunay
    {
        public function Delaunay()
        {
        }

        private static const EPSILON:Number = 0.000001;    //精度

        private var polygonV:Vector.<Polygon>;        //所有多边形，第0个元素为区域外边界 (输入数据)

        private var vertexV:Vector.<Vector2f>;        //所有顶点列表, 前outEdgeVecNmu个为外边界顶点
        private var edgeV:Vector.<Line2D>;            //所有约束边

        private var outEdgeVecNmu:int;            //区域外边界顶点数

        private  var lineV:Vector.<Line2D>;    //线段堆栈

        private var triangleV:Vector.<Triangle>;     //生成的Delaunay三角形

        public function createDelaunay(polyV:Vector.<Polygon>):Vector.<Triangle> {
            //Step1.     建立单元大小为 E*E 的均匀网格，并将多边形的顶点和边放入其中.
            //            其中 E=sqrt(w*h/n)，w 和 h 分别为多边形域包围盒的宽度、高度，n 为多边形域的顶点数 .
            initData(polyV);

            //Step2.    取任意一条外边界边 p1p2 .
            var initEdge:Line2D = getInitOutEdge();
            lineV.push(initEdge);

            var edge:Line2D;
            do {
                //Step3.     计算 DT 点 p3，构成约束 Delaunay 三角形 Δp1p2p3 .
                edge = lineV.pop();
//                trace("开始处理edge###########:", edge);
                var p3:Vector2f = findDT(edge);
                if (p3 == null) continue;
                var line13:Line2D = new Line2D(edge.getPointA(), p3);
                var line32:Line2D = new Line2D(p3, edge.getPointB());

                //Delaunay三角形放入输出数组
                var trg:Triangle = new Triangle(edge.getPointA(), edge.getPointB(), p3);

//                trace("DT 点p3", p3);
//                trace("Triangle", trg);
                triangleV.push(trg);

                //Step4.    如果新生成的边 p1p3 不是约束边，若已经在堆栈中，
                //            则将其从中删除；否则，将其放入堆栈；类似地，可处理 p3p2 .
                var index:int;
                if (indexOfVector(line13, this.edgeV) < 0) {
                    index = indexOfVector(line13, lineV);
                    if (index > -1) {
                        lineV.splice(index, 1);
                    } else {
                        lineV.push(line13);
                    }
                }
                if (indexOfVector(line32, this.edgeV) < 0) {
                    index = indexOfVector(line32, lineV);
                    if (index > -1) {
                        lineV.splice(index, 1);
                    } else {
                        lineV.push(line32);
                    }
                }

            //Step5.    若堆栈不空，则从中取出一条边，转Step3；否则，算法停止 .
//                trace("处理结束edge###########\n");
            } while (lineV.length > 0);

            return triangleV;
        }

        /**
         * 初始化数据
         * @param polyV
         */
        private function initData(polyV:Vector.<Polygon>):void {
            //填充顶点和线列表
            vertexV = new Vector.<Vector2f>();
            edgeV = new Vector.<Line2D>();
            var poly:Polygon;
            for (var i:int=0; i<polyV.length; i++) {
                poly = polyV[i];
                putVertex(vertexV, poly.vertexV);
                putEdge(edgeV, poly.vertexV);
            }

            outEdgeVecNmu = polyV[0].vertexNmu;

            lineV = new Vector.<Line2D>();
            triangleV = new Vector.<Triangle>();
        }

        /**
         * 获取初始外边界
         * @return
         */
        private function getInitOutEdge():Line2D {
            var initEdge:Line2D = edgeV[0];
            //检查是否有顶点p在该边上，如果有则换一个外边界
            var loopSign:Boolean;
            var loopIdx:int = 0;
            do {
                loopSign = false;
                loopIdx++;
                for each (var testV:Vector2f in this.vertexV) {
                    if ( testV.equals(initEdge.getPointA()) || testV.equals(initEdge.getPointB()) ) continue;
                    if (initEdge.classifyPoint(testV, EPSILON) == PointClassification.ON_LINE) {
                        loopSign = true;
                        initEdge = edgeV[loopIdx];
                        break;
                    }
                }
            } while (loopSign && loopIdx<outEdgeVecNmu-1);    //只取外边界
            return initEdge;
        }

        /**
         * 将srcV中的点放入dstV
         * @param dstV
         * @param srcV
         */
        private function putVertex(dstV:Vector.<Vector2f>, srcV:Vector.<Vector2f>):void {
            for each (var item:Vector2f in srcV) {
                dstV.push(item);
            }
        }

        /**
         * 根据srcV中的点生成多边形线段，并放入dstV
         * @param dstV
         * @param srcV
         */
        private function putEdge(dstV:Vector.<Line2D>, srcV:Vector.<Vector2f>):void {
            if (srcV.length < 3) return;    //不是一个多边形

            var p1:Vector2f = srcV[0];
            var p2:Vector2f;
            for (var i:int=1; i<srcV.length; i++) {
                p2 = srcV[i];
                dstV.push(new Line2D(p1, p2));
                p1 = p2;
            }
            p2 = srcV[0];
            dstV.push(new Line2D(p1, p2));
        }

        /**
         * 判断线段是否是约束边
         * @param line
         * @return 线段的索引，如果没有找到，返回-1
         */
        private function indexOfVector(line:Line2D, vector:Vector.<Line2D>):int {
            var lt:Line2D;
            for (var i:int=0; i<vector.length; i++) {
                lt = vector[i];
                if (lt.equals(line)) return i;
            }
            return -1;
        }

        /**
         * 计算 DT 点
         * @param line
         * @return
         */
        private function findDT(line:Line2D):Vector2f {
            var p1:Vector2f = line.getPointA();
            var p2:Vector2f = line.getPointB();

            //搜索所有可见点             TODO 按y方向搜索距线段终点最近的点
            var allVPoint:Vector.<Vector2f> = new Vector.<Vector2f>();        // line的所有可见点
            for each (var vt:Vector2f in this.vertexV) {
                if (isVisiblePointOfLine(vt, line)) {
                    allVPoint.push(vt);
                }
            }

            if (allVPoint.length == 0) return null;

            var p3:Vector2f = allVPoint[0];   

            var loopSign:Boolean = false;
            do {
                loopSign = false;

                //Step1. 构造 Δp1p2p3 的外接圆 C（p1，p2，p3）及其网格包围盒 B（C（p1，p2，p3））
                var circle:Circle = this.circumCircle(p1, p2, p3);
                var boundsBox:Rectangle = this.circleBounds(circle);

                //Step2. 依次访问网格包围盒内的每个网格单元：
                //         若某个网格单元中存在可见点 p, 并且 ∠p1pp2 > ∠p1p3p2，则令 p3=p，转Step1；否则，转Step3.
                var angle132:Number = Math.abs(lineAngle(p1, p3, p2));    // ∠p1p3p2
                for each (var vec:Vector2f in allVPoint) {
                    if ( vec.equals(p1) || vec.equals(p2) || vec.equals(p3) ) {
                        continue;
                    }
                    //不在包围盒中
                    if (boundsBox.contains(vec.x, vec.y) == false) {
                        continue;
                    }

                    //夹角
                    var a1:Number = Math.abs(lineAngle(p1, vec, p2));
                    if (a1 > angle132) {
                        /////转Step1
                        p3 = vec;
                        loopSign = true;
                        break;
                    }
                }
                ///////转Step3
            } while (loopSign); 

            //Step3. 若当前网格包围盒内所有网格单元都已被处理完，
            //         也即C（p1，p2，p3）内无可见点，则 p3 为的 p1p2 的 DT 点
            return p3;
        }

        /**
         * 返回顶角在o点，起始边为os，终止边为oe的夹角, 即∠soe (单位：弧度)
         * 角度小于pi，返回正值;   角度大于pi，返回负值
         */
        private function lineAngle(s:Vector2f, o:Vector2f, e:Vector2f):Number
        {
            var cosfi:Number, fi:Number, norm:Number;
            var dsx:Number = s.x - o.x;
            var dsy:Number = s.y - o.y;
            var dex:Number = e.x - o.x;
            var dey:Number = e.y - o.y; 

            cosfi = dsx*dex + dsy*dey;
            norm = (dsx*dsx + dsy*dsy) * (dex*dex + dey*dey);
            cosfi /= Math.sqrt( norm ); 

            if (cosfi >=  1.0 ) return 0;
            if (cosfi <= -1.0 ) return -Math.PI; 

            fi = Math.acos(cosfi);
            if (dsx*dey - dsy*dex > 0) return fi;      // 说明矢量os 在矢量 oe的顺时针方向
            return -fi;
        } 

        /**
         * 返回圆的包围盒
         * @param c
         * @return
         */
        private function circleBounds(c:Circle):Rectangle {
            return new Rectangle(c.center.x-c.r, c.center.y-c.r, c.r*2, c.r*2);
        }

        /**
         * 返回三角形的外接圆
         * @param p1
         * @param p2
         * @param p3
         * @return
         */
        private function circumCircle(p1:Vector2f, p2:Vector2f, p3:Vector2f):Circle {
            var m1:Number,m2:Number,mx1:Number,mx2:Number,my1:Number,my2:Number;
            var dx:Number,dy:Number,rsqr:Number,drsqr:Number;
            var xc:Number, yc:Number, r:Number;

            /* Check for coincident points */

            if ( Math.abs(p1.y-p2.y) < EPSILON && Math.abs(p2.y-p3.y) < EPSILON )
            {
                trace("CircumCircle: Points are coincident.");
                return null;
            }

            m1 = - (p2.x - p1.x) / (p2.y - p1.y);
            m2 = - (p3.x-p2.x) / (p3.y-p2.y);
            mx1 = (p1.x + p2.x) / 2.0;
            mx2 = (p2.x + p3.x) / 2.0;
            my1 = (p1.y + p2.y) / 2.0;
            my2 = (p2.y + p3.y) / 2.0;

            if ( Math.abs(p2.y-p1.y) < EPSILON ) {
                xc = (p2.x + p1.x) / 2.0;
                yc = m2 * (xc - mx2) + my2;
            } else if ( Math.abs(p3.y - p2.y) < EPSILON ) {
                xc = (p3.x + p2.x) / 2.0;
                yc = m1 * (xc - mx1) + my1;
            } else {
                xc = (m1 * mx1 - m2 * mx2 + my2 - my1) / (m1 - m2);
                yc = m1 * (xc - mx1) + my1;
            }

            dx = p2.x - xc;
            dy = p2.y - yc;
            rsqr = dx*dx + dy*dy;
            r = Math.sqrt(rsqr);

            return new Circle(new Vector2f(xc, yc), r);
        }

        /**
         * 判断点vec是否为line的可见点
         * @param vec
         * @param line
         * @return true:vec是line的可见点
         */
        private function isVisiblePointOfLine(vec:Vector2f, line:Line2D):Boolean {
            if (vec.equals(line.getPointA()) || vec.equals(line.getPointB())) {
                return false;
            }

            //（1） p3 在边 p1p2 的右侧 (多边形顶点顺序为顺时针)；
            if (line.classifyPoint(vec, EPSILON) != PointClassification.RIGHT_SIDE)
            {
                return false;
            }

            //（2） p3 与 p1 可见，即 p1p3 不与任何一个约束边相交；
            if (isVisibleIn2Point(line.getPointA(), vec) == false) {
                return false;
            }

            //（3） p3 与 p2 可见
            if (isVisibleIn2Point(line.getPointB(), vec) == false) {
                return false;
            }

            return true;
        }

        /**
         * 点pa和pb是否可见(pa和pb构成的线段不与任何约束边相交，不包括顶点)
         * @param pa
         * @param pb
         * @return
         */
        private function isVisibleIn2Point(pa:Vector2f, pb:Vector2f):Boolean {
            var linepapb:Line2D = new Line2D(pa, pb);
            var interscetVector:Vector2f = new Vector2f();        //线段交点
            for each (var lineTmp:Line2D in this.edgeV) {
                //两线段相交
                if (linepapb.intersection(lineTmp, interscetVector) == LineClassification.SEGMENTS_INTERSECT) {
                    //交点是不是端点
                    if ( !pa.equals(interscetVector) && !pb.equals(interscetVector) ) {
                        return false;
                    }
                }
            }
            return true;
        }

    }
}

import org.blch.geom.Vector2f;
/**
 * 圆
 * @author blc
 */
class Circle {
    public var center:Vector2f;        //圆心
    public var r:Number;            //半径

    public function Circle(cen:Vector2f, r:Number) {
        this.center = cen;
        this.r = r;
    }
}