计算两个字符串的相似度---动态规划实现

问题描述：
把两个字符串变成相同的基本操作定义如下：
1.     修改一个字符（如把 a 变成 b）
2.     增加一个字符 (如 abed 变成 abedd)
3.     删除一个字符（如 jackbllog 变成 jackblog）
针对于 jackbllog到jackblog 只需要删除一个或增加一个 l 就可以把两个字符串变为相同。把这种操作需要的次数定义为两个字符串的距离 L, 则相似度定义为1/(L+1) 即距离加一的倒数。那么jackbllog和jackblog的相似度为 1/1+1=1/2=0.5 也就是所两个字符串的相似度是 0.5。
给定任意两个字符串，你是否写出一个是否来计算出它们的相识度。
分析题目：本题是一个多级阶段的决策问题，每个阶段的最优选择会受到前面最优选择的影响，我们可以利用动态规划来实现，1，定义一个子问题，2，确定子问题最优解的堆叠方式。
以本题为例，假设source字符串有n个字符，target字符串有m个字符，如果将问题定义为求解将source的1－n个字符转换为target的1－m个字符所需要的最少编辑次数（最小编辑距离），则其子问题就可以定义为将source的1－i个字符转换为target的1－j个字符所需要的最少编辑次数，这就是本问题的最优子结构。我们用d[i, j]表示source[1..i]到target[1..j]之间的最小编辑距离，则计算d[i, j]的递推关系可以这样计算出来：
 
如果source[i] 等于target[j]，则：
 
d[i, j] = d[i-1, j-1] + 0                                               （递推式 1）
 
如果source[i] 不等于target[j]，则根据插入、删除和替换三个策略，分别计算出使用三种策略得到的编辑距离，然后取最小的一个：
 
d[i, j] = min(d[i, j - 1] + 1，d[i - 1, j] + 1，d[i - 1, j - 1] + 1 )            （递推式 2）
 
d[i, j - 1] + 1 表示对source[i]执行插入操作后计算最小编辑距离
d[i - 1, j] + 1 表示对source[i]执行删除操作后计算最小编辑距离
d[i - 1, j - 1] + 1表示对source[i]替换成target[i]操作后计算最小编辑距离
 
d[i, j]的边界值就是当target为空字符串（m = 0）或source为空字符串（n = 0）时所计算出的编辑距离：
 
m = 0，对于所有 i：d[i, 0] = i
n = 0，对于所有 j：d[0, j] = j
 
        根据前面分析的最优子结构、最优解的递推关系以及边界值，写出用动态规划法求解最小编辑距离的算法就很容易了，以下代码就是计算两个字符串的最小编辑距离的算法实现：

1. public class Main{
2. public int fun(String source,String target){
3. int i,j;
4. int[][] d = new int[source.length()+1][target.length()+1];
5. for(i=1;i<source.length()+1;i++){/*初始化临界值*/
6. d[i][0]=i;
7. }
8. for(j=1;j<target.length()+1;j++){/*初始化临界值*/
9. d[0][j]=j;
10. }
11. for(i=1;i<source.length()+1;i++){/*动态规划填表*/
12. for(j=1;j<target.length()+1;j++){
13. if(source.substring(i-1, i).equals(target.substring(j-1, j))){
14. d[i][j]=d[i-1][j-1];/*source的第i个和target的第j个相同时*/
15. }else{/*不同的时候则取三种操作最小的一个*/
16. d[i][j]=min(d[i][j-1]+1,d[i-1][j]+1,d[i-1][j-1]+1);
17. }
18. }
19. }
20. return d[source.length()][target.length()];
21. }
22. private int min(int i, int j, int k) {
23. int min = i<j?i:j;
24. min = min<k?min:k;
25. return min;
26. }
27. public static void main(String[] args) {
28. StringSimilar ss = new StringSimilar();
29. System.out.println(ss.fun("SNOWY", "SUNNY"));//3
30. System.out.println(ss.fun("a", "b"));//1
31. System.out.println(ss.fun("abdd", "aebdd"));//1
32. System.out.println(ss.fun("travelling", "traveling"));//1
33. }
34. }

总结：

注解：
【1】最优子结构：对于多阶段决策问题，如果每一个阶段的最优决策序列的子序列也是最优的，且决策序列具有“无后效性”，就可以将此决策方法理解为最优子结构。
 
【2】无后效性：动态规划法的最优解通常是由一系列最优决策组成的决策序列，最优子结构就是这些最优决策序列中的一个子序列，对于每个子序列再做最优决策会产生新的最优决策（子）序列，如果某个决策只受当前最优决策子序列的影响，而不受当前决策可能产生的新的最优决策子序列的影响，则可以理解这个最优决策具有无后效性。